( 2 , 0 pontos) Calcule a integral usando substituição trigonométrica:
integral 1raiz3-2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 1raiz3-2 x^2,dx
Este é um caso típico de substituição trigonométrica (ou manipulação para a forma integral du/raiza^2-u^2).

Passo 2

Note que
3 - 2x^2 = (raiz3)^2 - (raiz2,x)^2,
o que sugere usar a mudança de variável u = raiz2,x para obtermos a forma raiza^2 - u^2.

Passo 3

Definindo u = raiz2,x temos
du = raiz2,dx Longrightarrow dx = duraiz2
Substituindo na integral,
integral 1raiz3 - 2x^2,dx = integral 1raiz(raiz3)^2 - u^2 cdot duraiz2 = 1raiz2 integral duraiz3 - u^2

Passo 4

Reconhecemos a integral padrão
integral duraiza^2 - u^2 = arcsinl(uar) + C
Aqui a = raiz3, logo
integral duraiz3 - u^2 = arcsinl(uraiz3r) + C

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que u = raiz2,x), obtemos
integral 1raiz3 - 2x^2,dx = 1raiz2 arcsinl(raiz2,xraiz3r) + C

Resposta

1raiz2 arcsin!l(raiz2,xraiz3r) + C

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