Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
an=3^n-n

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a sequência
an = 3^n - n
e queremos verificar se ela é crescente ou decrescente, se é limitada (inferior ou superiormente) e se converge. Para isso vamos usar definição de monotonicidade via diferença an+1-an, analisar seu comportamento para grandes n e estudar seu limite.

Passo 2

Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1 - an = l(3^n+1 - (n+1)r) - l(3^n - nr) =3cdot3^n -3^n -1 =2cdot3^n -1

Passo 3

Como para todo n>=1 temos 2cdot3^n -1 >= 2cdot3^1 -1 =5>0, segue que
an+1-an>0forall n>=1,
logo an é estritamente crescente.

Passo 4

Para estudar limites e limitabilidade, note que 3^nto+infty muito mais rápido que n. Portanto
an = 3^n - n to +inftyquando ntoinfty
Isso mostra que an não é limitada superiormente. Como é crescente, seu menor valor ocorre em n=1, isto é a1=3-1=2, então é limitada inferiormente por 2.

Passo 5

Como o limite de an quando ntoinfty é +infty, a sequência não converge para um número finito.

Resposta

A sequência an é estritamente crescente, limitada inferiormente (por 2), não é limitada superiormente e diverge para +infty.

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