Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a sequência
e queremos verificar se ela é crescente ou decrescente, se é limitada (inferior ou superiormente) e se converge. Para isso vamos usar definição de monotonicidade via diferença
, analisar seu comportamento para grandes
e estudar seu limite.
Passo 2
Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
Passo 3
Como para todo
temos
, segue que
logo
é estritamente crescente.
Passo 4
Para estudar limites e limitabilidade, note que
muito mais rápido que
. Portanto
Isso mostra que
não é limitada superiormente. Como é crescente, seu menor valor ocorre em
, isto é
, então é limitada inferiormente por
.
Passo 5
Como o limite de
quando
é
, a sequência não converge para um número finito.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente, limitada inferiormente (por
), não é limitada superiormente e diverge para
.