Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
an=1-2^nn

Passo 1

Temos a sequência
an = 1 - 2^nn
Queremos determinar se ela é crescente ou decrescente (monotonicidade), se é limitada (acima e/ou abaixo) e se converge (encontrar limntoinftyan).

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculamos a diferença
an+1-an = l(1 - 2^n+1n+1r)-l(1 - 2^nnr) = -2^n+1n+1 + 2^nn =2^nl(1n - 2n+1r)
Colocando no mesmo denominador,
1n - 2n+1 =n+1-2nn(n+1) =1-nn(n+1) =-n-1n(n+1),
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an+1-an =-2^nn-1n(n+1)
Para n>=2, o fator n-1n(n+1)>0 e 2^n>0, de modo que
an+1-an<0
Portanto, a partir de n=2 a sequência é estritamente decrescente; globalmente ela é não-crescente (decrescente).

Passo 3

Analisando limites de an:
  • Note que a1=1-2^1/1=-1 e a2=-1, e daí em diante an decresce. Logo an<=-1 para todo n, ou seja, há um majorante -1.
  • Como veremos adiante anto-infty, não existe limite inferior finito; portanto não há minorante real.
Concluímos que a sequência é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente, logo não é limitada (no sentido de ter ambas as cotas).

Passo 4

Para a convergência, basta observar que
2^nnto+infty(ntoinfty),
portanto
an = 1 - 2^nn ;longrightarrow; -infty
Isso significa que a sequência diverge (não converge para um número real).

Resposta

A sequência ;an=1-tfrac2^nn; é decrescente (não-crescente), limitada superiormente (por -1), não limitada inferiormente, e diverge para -infty (não converge).

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