Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
Passo 1
Temos a sequência
Queremos determinar se ela é crescente ou decrescente (monotonicidade), se é limitada (acima e/ou abaixo) e se converge (encontrar
).
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, calculamos a diferença
Colocando no mesmo denominador,
logo
Para
, o fator
e
, de modo que
Portanto, a partir de
a sequência é estritamente decrescente; globalmente ela é não-crescente (decrescente).
Passo 3
Analisando limites de
:
- Note que
e , e daí em diante decresce. Logo para todo , ou seja, há um majorante . - Como veremos adiante
, não existe limite inferior finito; portanto não há minorante real.
Concluímos que a sequência é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente, logo não é limitada (no sentido de ter ambas as cotas).
Passo 4
Para a convergência, basta observar que
portanto
Isso significa que a sequência diverge (não converge para um número real).
Resposta
A sequência
é decrescente (não-crescente), limitada superiormente (por
), não limitada inferiormente, e diverge para
(não converge).