Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
an=(-1)^n^2

Passo 1

O enunciado define a sequência l(anr) por
an=(-1)^n^2
e pede para verificar se ela é crescente, decrescente, limitada e/ou convergente. Vamos usar as definições de:
  • monotonicidade (crescente/decrescente): compara-se an+1 com an,
  • limitada: existe M tal que lvert anrvert <= M para todo n,
  • convergente: existe ell tal que limntoinftyan=ell.

Passo 2

Note que o expoente é par},\ (-1)^{ímpar} = -1,&se é ímpar. \end{cases}]
Logo os termos da sequência alternam entre (para ímpar) e (para par).

Passo 3

Para testar monotonicidade, comparemos alguns pares de termos consecutivos:
,a1=-1, ,a2=1 a2>a1, mas em seguida
,a2=1, ,a3=-1 a3<a2.
Isto já mostra que não é crescente (porque em n=2 temos a2>a1 mas não a3>= a2) e nem decrescente (porque em n=1 temos a2>a1, violando a2<= a1).

Passo 4

Os únicos valores que an assume são -1 e 1. Logo basta tomar M=1 para ver que
lvert anrvert <= 1
para todo n. Portanto a sequência é limitada.

Passo 5

Para ver se converge, note as subsequências
,a2k=1 para todo k e ,a2k-1=-1 para todo k.
Como
limktoinftya2k=1 e limktoinftya2k-1=-1
são limites diferentes, a sequência não tem limite único e, portanto, não converge.

Resposta

A sequência não é crescente, não é decrescente, é limitada e não é convergente.

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