Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede para verificar se ela é crescente, decrescente, limitada e/ou convergente. Vamos usar as definições de:
- monotonicidade (crescente/decrescente): compara-se
com , - limitada: existe
tal que para todo , - convergente: existe
tal que .
Passo 2
Note que o expoente é par},\ (-1)^{ímpar} = -1,&se
é ímpar. \end{cases}]
Logo os termos da sequência alternam entre
(para
ímpar) e
(para
par).
Passo 3
Para testar monotonicidade, comparemos alguns pares de termos consecutivos:
,
dá
, mas em seguida
,
dá
.
Isto já mostra que não é crescente (porque em temos
mas não
) e nem decrescente (porque em
temos
, violando
).
Isto já mostra que não é crescente (porque em
Passo 4
Os únicos valores que
assume são
e
. Logo basta tomar
para ver que
para todo
. Portanto a sequência é limitada.
Passo 5
Para ver se converge, note as subsequências
para todo
e
para todo
.
Como
e
são limites diferentes, a sequência não tem limite único e, portanto, não converge.
Como
são limites diferentes, a sequência não tem limite único e, portanto, não converge.
Resposta
A sequência não é crescente, não é decrescente, é limitada e não é convergente.