(valor 4,0 pontos). Calcule a integral: \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{1}{3} \theta\right) d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\tfrac{1}{3}\theta\Bigr)\,d\theta.
O conteúdo é integração de função trigonométrica usando identidade de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}u = \frac{1 - \cos(2u)}{2},
com u = \tfrac{1}{3}\theta. Logo,
\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\tfrac{1}{3}\theta\Bigr) = \frac{1 - \cos\!\bigl(2\cdot\tfrac{1}{3}\theta\bigr)}{2} = \frac{1 - \cos\!\bigl(\tfrac{2}{3}\theta\bigr)}{2}.
Substituindo em I, obtemos
I = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\bigl[1 - \cos\!\bigl(\tfrac{2}{3}\theta\bigr)\bigr]\,d\theta.

Passo 3

Vamos calcular separadamente
\int_{0}^{\pi}1\,d\theta = \pi,
e
\int_{0}^{\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{2}{3}\theta\bigr)\,d\theta = \left[\frac{1}{\tfrac{2}{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{2}{3}\theta\bigr)\right]_{0}^{\pi} = \frac{3}{2}\bigl(\sin(\tfrac{2}{3}\pi)-\sin0\bigr) = \frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Substituindo esses resultados em I:
I = \frac{1}{2}\Bigl(\pi - \tfrac{3\sqrt{3}}{4}\Bigr) = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{8}.

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{8}}

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