$(2,5 pontos) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar o conteúdo de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração
em frações mais simples. A ideia é escrever essa expressão como a soma de termos mais fáceis de integrar. Vamos assumir que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Explicando, isso elimina os denominadores e nos dá uma equação polinomial.
Passo 4
Expandindo e simplificando a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
- De
, temos - De
, temos - Substituindo
e na terceira equação:
Então:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo e combinando as constantes de integração, a solução da integral é: