$(2,5 pontos) Calcule (2,5 pontos) Calcu<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de 1(x+2)(x-2)^2 em relação a x. Vamos usar o conteúdo de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração 1(x+2)(x-2)^2 em frações mais simples. A ideia é escrever essa expressão como a soma de termos mais fáceis de integrar. Vamos assumir que:
1(x+2)(x-2)^2 = Ax+2 + Bx-2 + C(x-2)^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x+2)(x-2)^2:
1 = A(x-2)^2 + B(x+2)(x-2) + C(x+2)
Explicando, isso elimina os denominadores e nos dá uma equação polinomial.

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação:
1 = A(x^2 - 4x + 4) + B(x^2 - 4) + Cx + 2C
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (-4A + C)x + (4A - 4B + 2C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para x^2: A + B = 0
  2. Para x: -4A + C = 0
  3. Termo constante: 4A - 4B + 2C = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De A + B = 0, temos B = -A
  2. De -4A + C = 0, temos C = 4A
  3. Substituindo B e C na terceira equação:
4A - 4(-A) + 2(4A) = 1 4A + 4A + 8A = 1 16A = 1 A = 116
Então:
B = -116 C = 4 cdot 116 = 14

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
1(x+2)(x-2)^2 = 116x+2 + -116x-2 + 14(x-2)^2
Simplificando:
116(x+2) - 116(x-2) + 14(x-2)^2

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
  1. integral 116(x+2) dx = 116 ln|x+2| + C1
  2. integral -116(x-2) dx = -116 ln|x-2| + C2
  3. integral 14(x-2)^2 dx = 14 cdot ( -1x-2 ) + C3 = -14(x-2) + C3

Resposta

Juntando tudo e combinando as constantes de integração, a solução da integral é:
integral 1(x+2)(x-2)^2 dx = 116 ln|x+2| - 116 ln|x-2| - 14(x-2) + C

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