(4 pontos)
(a) (4 pontos) Calcule a seguinte integral
(b) (2 pontos) Verifique, usando derivada, se a resposta dada no item anterior está correta.
(a) (4 pontos) Calcule a seguinte integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e em seguida verificar, derivando, se o resultado está correto. O conteúdo principal aqui é integração por partes.
Passo 2
Escolhemos
Então
Pela fórmula de partes,
ficamos com
Passo 3
Observe que
E
logo
Passo 4
Substituindo de volta, obtemos
e simplificando
Passo 5
Para verificar, derivamos
Temos
Reorganizando o termo racional:
logo
o que coincide com o integrando original.
Resposta
(a)
(b) Ao derivar esse resultado obtemos
, confirmando que a primitiva está correta.