(4 pontos)
(a) (4 pontos) Calcule a seguinte integral
integral ln (x^2+1) d x
(b) (2 pontos) Verifique, usando derivada, se a resposta dada no item anterior está correta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral lnl(x^2+1r),dx
e em seguida verificar, derivando, se o resultado está correto. O conteúdo principal aqui é integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(x^2+1r), dv = dx
Então
du = 2xx^2+1,dx, v = x
Pela fórmula de partes,
integral u,dv = u,v - integral v,du,
ficamos com
integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - integral x cdot 2xx^2+1,dx

Passo 3

Observe que
integral x cdot 2xx^2+1,dx = 2integral x^2x^2+1,dx
E
x^2x^2+1 = 1 - 1x^2+1,
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2integral x^2x^2+1,dx = 2integral!1,dx - 2integral 1x^2+1,dx = 2x - 2arctan(x)

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - l(2x - 2arctan(x)r) + C
e simplificando
boxed integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - 2x + 2arctan(x) + C

Passo 5

Para verificar, derivamos
F(x) = x,lnl(x^2+1r) - 2x + 2arctan(x)
Temos
F'(x) = lnl(x^2+1r) + xcdot2xx^2+1 - 2 + 2cdot1x^2+1
Reorganizando o termo racional:
2x^2x^2+1 + 2x^2+1 = 2x^2+2x^2+1 = 2,
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F'(x) = lnl(x^2+1r) + 2 - 2 = lnl(x^2+1r),
o que coincide com o integrando original.

Resposta

(a) integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - 2x + 2arctan(x) + C
(b) Ao derivar esse resultado obtemos ln(x^2+1), confirmando que a primitiva está correta.

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