Questão 31. Calcule a distância entre as retas r: x+43=y4=z+5-2 e s:lx=21+6 lambda y=-5-4 lambda z=2-lambda.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r e s em R^3. Como elas não são paralelas nem se interceptam (retas skew), vamos usar a fórmula da distância entre retas skew:
d = l|P0Q0cdot(atimesb)r||atimesb|
onde P0 e Q0 são pontos quaisquer em r e s, e a, b são os vetores diretores de r e s, respectivamente.

Passo 2

Obtemos a forma paramétrica de r e identificamos ponto e vetor diretor. Da equação
x+43=y4=z+5-2=t
segue
x=-4+3t, y=4t, z=-5-2t,
logo um ponto em r é P0=(-4,0,-5) e o vetor diretor é a=(3,4,-2).
Para s já está em forma paramétrica:
x=21+6lambda, y=-5-4lambda, z=2-lambda,
então tomamos Q0=(21,-5,2) e b=(6,-4,-1).

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de P0 a Q0:
P0Q0=Q0-P0=(21-(-4),,-5-0,,2-(-5))=(25,,-5,,7)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial atimesb:
atimesb = i&j&k 3&4&-2 6&-4&-1 =(-12,,-9,,-36)
O módulo é
|atimesb| =raiz(-12)^2+(-9)^2+(-36)^2 =raiz144+81+1296 =raiz1521=39

Passo 5

Calculamos o produto escalar e aplicamos a fórmula:
P0Q0cdot(atimesb) =(25)(-12)+(-5)(-9)+7(-36) =-300+45-252=-507,
logo
d=l|-507r|39=50739=13

Resposta

A distância entre r e s é 13.

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