As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(e) \left[\begin{array}{lll}x & 2 & 4 \\\\ 6 & 3 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} x & 2 & 4\\\\ 6 & 3 & y \end{pmatrix}
de um sistema em três incógnitas e duas equações, e pede os valores de x e y para que o sistema tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo do vetor de constantes \boldsymbol b=(b_1,b_2). O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares por posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.

Passo 2

Para que um sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b tenha, conforme \boldsymbol b, ou zero ou infinitas soluções sigamos este raciocínio:
  • Se \rank(A)=2, como \rank([A\,|\,\boldsymbol b])\le2, sempre \rank(A)=\rank([A\,|\,\boldsymbol b])=2, então o sistema é sempre compatível e, como há 3 incógnitas, terá sempre infinitas soluções (nunca caso zero soluções).
  • Se \rank(A)=1, então para \boldsymbol b que estiver no espaço-coluna de A \rank([A\,|\,\boldsymbol b])=1 o sistema é compatível com infinitas soluções; e para \boldsymbol b que não estiver no espaço-coluna \rank([A\,|\,\boldsymbol b])=2 o sistema será incompatível (zero soluções). É exatamente o comportamento desejado.
Logo queremos \rank(A)=1.

Passo 3

Impor \rank(A)=1 em uma matriz 2\times3 significa que todas as suas menores de ordem 2 devem ser zero. Calculamos:
\det\begin{pmatrix}x&2\\\ 6&3\end{pmatrix} =3x-12=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4,
\det\begin{pmatrix}x&4\\\ 6&y\end{pmatrix} =xy-24=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y-24=0\;\Rightarrow\;y=6,
\det\begin{pmatrix}2&4\\\ 3&y\end{pmatrix} =2y-12=0 \quad\Longrightarrow\quad y=6.
Assim obtemos x=4 e y=6.

Passo 4

Com x=4 e y=6 a matriz fica
A = \begin{pmatrix}4&2&4\\\ 6&3&6\end{pmatrix},
e de fato a segunda linha é 1{,}5 vezes a primeira, logo \rank(A)=1. O espaço-coluna de A é o conjunto de múltiplos de \begin{pmatrix}4\\\ 6\end{pmatrix}. Assim:
  • Se \displaystyle (b_1,b_2) satisfaz (b_1,b_2)=\lambda(4,6) para algum \lambda, então \rank([A\,|\,\boldsymbol b])=1 e há infinitas soluções.
  • Caso contrário, \rank([A\,|\,\boldsymbol b])=2 e o sistema não admite solução.

Resposta

x=4,\;y=6.

Exercícios relacionados