As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(f) \left[\begin{array}{lll}0 & 3 & x \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
e pede o valor de x para que, variando o vetor \boldsymbol b, o sistema A\mathbf u=\boldsymbol b tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções. Isso acontece exatamente quando \mathrm{rank}(A)=2<3, pois assim para \boldsymbol b no espaço coluna de A o sistema é consistente com infinitas soluções e, para \boldsymbol b fora, é inconsistente.
Passo 2
Para ter \mathrm{rank}(A)=2 precisamos que \det(A)=0 (para não ser de posto 3) mas que exista pelo menos algum menor 2\times2 não nulo (para não cair a posto 1). Vamos então calcular
Há risco de a matriz cair a posto 1 quando x=18/5? Basta verificar algum menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor das linhas 2 e 3, colunas 1 e 2 é
Logo \mathrm{rank}(A)=2 em x=18/5, e de fato o sistema terá infinitas soluções para \boldsymbol b no espaço coluna de A e nenhuma solução caso contrário.