As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(f) \left[\begin{array}{lll}0 & 3 & x \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & x\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
e pede o valor de x para que, variando o vetor \boldsymbol b, o sistema A\mathbf u=\boldsymbol b tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções. Isso acontece exatamente quando \mathrm{rank}(A)=2<3, pois assim para \boldsymbol b no espaço coluna de A o sistema é consistente com infinitas soluções e, para \boldsymbol b fora, é inconsistente.

Passo 2

Para ter \mathrm{rank}(A)=2 precisamos que \det(A)=0 (para não ser de posto 3) mas que exista pelo menos algum menor 2\times2 não nulo (para não cair a posto 1). Vamos então calcular
\det(A) =0\cdot\bigl(1\cdot4-2\cdot3\bigr) -3\cdot\bigl(2\cdot4-2\cdot1\bigr) +x\cdot\bigl(2\cdot3-1\cdot1\bigr).

Passo 3

Simplificando a expressão:
\det(A) =-3\,(8-2)+x\,(6-1) =-3\cdot6+5x =5x-18.
Portanto \det(A)=0 implica
5x-18=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{18}{5}.

Passo 4

Há risco de a matriz cair a posto 1 quando x=18/5? Basta verificar algum menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor das linhas 2 e 3, colunas 1 e 2 é
\begin{vmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3 \end{vmatrix} =2\cdot3-1\cdot1=5\neq0.
Logo \mathrm{rank}(A)=2 em x=18/5, e de fato o sistema terá infinitas soluções para \boldsymbol b no espaço coluna de A e nenhuma solução caso contrário.

Resposta

x=\tfrac{18}{5}.

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