(2,0 pontos) Calcule usando o processo de antiderivação
\int x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int x e^{x}\,dx usando o processo de antiderivação por partes. Essa técnica se baseia na fórmula
\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\;\int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \qquad dv = e^{x}\,dx
porque u fica mais simples ao derivar e dv é fácil de integrar.

Passo 3

Derivando u e integrando dv:
du = dx, \qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.

Passo 5

Para deixar mais compacto, fatoramos e^{x}:
x e^{x} - e^{x} = \bigl(x - 1\bigr)e^{x}.

Resposta

(x - 1)e^{x} + C

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