( 2,0 pontos) Determine:
(a) As equações simétricas da reta r_{1} que passa por A(2,0,0) e tem direção \vec{v}=(4,5,3).
(b) O valor de n, para que seja de 45^{\circ} o ângulo entre a reta r_{1}, obtida no ítem anterior, e a reta r_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=n x+5 \\\ z=2 x-2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. No item (a) queremos as equações simétricas da reta r_{1}\) que passa por \(A(2,0,0)\) e tem vetor direção \(\vec v=(4,5,3)\). No item (b) vamos achar o valor de \(n\) para que o ângulo entre \(r_{1}\) e a reta \[r_{2}: \begin{cases} y = n\,x + 5,\\\ z = 2\,x - 2 \end{cases}
seja (45^\circ]. Para isso usaremos a forma paramétrica e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Montamos a forma paramétrica de r_{1}\). Seja \(t\) o parâmetro, então \[\begin{cases} x = 2 + 4\,t,\\\ y = 0 + 5\,t,\\\ z = 0 + 3\,t. \end{cases}
Para passar às equações simétricas, isolamos t\] em cada linha: \[t = \frac{x-2}{4},\quad t = \frac{y}{5},\quad t = \frac{z}{3}.\] Logo as equações simétricas de \(r_{1} são
\frac{x-2}{4} \;=\; \frac{y}{5} \;=\; \frac{z}{3}.

Passo 3

No item (b) precisamos do vetor direção de r_{2}. Da forma \;y = nx+5,\;z = 2x-2; vemos que se x é o parâmetro, o vetor direção é
\vec w = (1,\,n,\,2).
O ângulo \theta entre r_{1} e r_{2} satisfaz
\cos\theta = \frac{\bigl|\vec v\!\cdot\!\vec w\bigr|}{\|\vec v\|\;\|\vec w\|}.
Aqui \vec v=(4,5,3), então
\vec v\!\cdot\!\vec w = 4\cdot1 + 5\cdot n + 3\cdot2 = 5n + 10,
\|\vec v\| = \sqrt{4^2+5^2+3^2} = 5\sqrt2, \quad \|\vec w\| = \sqrt{1^2+n^2+2^2} = \sqrt{n^2+5}.

Passo 4

Queremos \theta=45^\circ, logo \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}. Substituindo,
\frac{\bigl|5n+10\bigr|}{5\sqrt2\;\sqrt{n^2+5}} = \frac{\sqrt2}{2}.
Multiplicando ambos os lados e simplificando, chega-se a
\bigl|n+2\bigr| = \sqrt{n^2+5}.
Elevando ao quadrado:
(n+2)^2 = n^2+5 \;\Longrightarrow\;4n+4=5 \;\Longrightarrow\;n=\tfrac14.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{x-2}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3}.
(b) n = \tfrac14.

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