( 2,0 pontos) Determine:
(a) As equações simétricas da reta r_{1} que passa por A(2,0,0) e tem direção \vec{v}=(4,5,3).
(b) O valor de n, para que seja de 45^{\circ} o ângulo entre a reta r_{1}, obtida no ítem anterior, e a reta r_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=n x+5 \\\ z=2 x-2 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. No item (a) queremos as equações simétricas da reta r_{1}\) que passa por \(A(2,0,0)\) e tem vetor direção \(\vec v=(4,5,3)\). No item (b) vamos achar o valor de \(n\) para que o ângulo entre \(r_{1}\) e a reta
\[r_{2}: \begin{cases} y = n\,x + 5,\\\ z = 2\,x - 2 \end{cases}
seja (45^\circ]. Para isso usaremos a forma paramétrica e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.
Passo 2
Montamos a forma paramétrica de r_{1}\). Seja \(t\) o parâmetro, então
\[\begin{cases} x = 2 + 4\,t,\\\ y = 0 + 5\,t,\\\ z = 0 + 3\,t. \end{cases}
Para passar às equações simétricas, isolamos t\] em cada linha:
\[t = \frac{x-2}{4},\quad t = \frac{y}{5},\quad t = \frac{z}{3}.\]
Logo as equações simétricas de \(r_{1} são