(4,0 Pontos) Em certas condições um fóton é capaz de criar matéria (partículas). Descreva o processo e calcule a energia mínima que deve ter o fóton para criar partícula(s).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) descrever o processo físico pelo qual um fóton pode “criar” matéria (i.e., gerar partículas massivas) e (2) calcular a energia mínima que o fóton deve ter para que isso ocorra. As informações relevantes implícitas no enunciado são: estamos falando de criação de partículas a partir de fótons (processos de pariação) e devemos tratar conservação de energia e momento (quantidades que regem se o processo é possível e qual é o limiar de energia).
Passo 2
Primeiro conceito essencial — conservação de energia e momento (resumo didático):
- Energia total e momento total de um sistema isolado são conservados. Para partículas relativísticas usamos a 4-quantidade energia-momento, mas dá para entender com conservação escalar de energia e vetorial de momento.
- Um fóton tem energia
e momento de módulo . A sua “massa de repouso” é zero: o quadrimomento do fóton tem a propriedade de que o seu quadrado invariável é zero. - Para criar partículas massivas (com massa de repouso
) precisamos fornecer pelo menos a energia de repouso dessas partículas (por exemplo, para criar um par elétron-pósitron precisamos de ao menos em energia total disponível), além de satisfazer conservação de momento.
Passo 3
Por que um único fóton, sozinho no vácuo, NÃO pode se transformar numa partícula massiva (ou num par) sem outras coisas presentes?
Explicação didática e cálculo curto: suponha que um fóton no vácuo se transformasse num único corpo massivo de massa . Pelo lado inicial o quadrado invariável do quadrimomento é zero (pois para o fóton
). Pelo lado final de uma partícula massiva temos
. Como a quantidade invariável
é conservada, não pode mudar de zero para
. Portanto a transformação é impossível. Mesmo se tentarmos formar duas partículas (par) no vácuo, o sistema final tem quadrado invariável positivo, diferente do inicial (fóton isolado), logo também é impossível. Conclusão: um fóton precisa interagir com outra entidade (ex.: um núcleo, outro fóton, elétron, etc.) para que o processo respeite conservação de energia e momento.
Explicação didática e cálculo curto: suponha que um fóton no vácuo se transformasse num único corpo massivo de massa
Passo 4
Descrição do processo realizável e esquema físico:
- Processo típico em laboratórios e em astrofísica: pariação na presença de um núcleo (ou de outro corpo pesado). Reação simbólica:
. O núcleo serve para absorver o momento de recoíl, permitindo que energia e momento sejam satisfeitos simultaneamente. - Outro processo possível é a colisão de dois fótons:
. Nesse caso a presença do segundo fóton permite conservar momento e energia sem necessidade de um objeto macroscópico.
Passo 5
Cálculo da energia mínima para um fóton produzir um par
na presença de um núcleo pesado (derivação passo a passo com invariantes):
- Método escolhido: usar a quantidade invariante
. Essa escolha é conveniente pois é independente do referencial e facilita achar o limiar (energia mínima) do processo. - Variáveis e significados:
-
: energia do fóton incidente. -
: massa de repouso do núcleo inicialmente em repouso. -
: massa de repouso da partícula criada (no caso elétron, ). -
: velocidade da luz.
-
- No referencial em que o núcleo está inicialmente em repouso, as quantidades iniciais são:
- Energia total inicial:
. - Momento total inicial (módulo):
(direção do fóton).
- Energia total inicial:
- O invariável energético-quadrático inicial (vamos chamar de
, em unidades de energia ao quadrado) é:
Substituindo
obtemos:
- No limiar (energia mínima) os produtos finais têm energia mínima combinada: isto acontece quando as partículas criadas e o núcleo recoem como um sistema conjunto sem energia cinética interna extra (configuração de mínimo energético compatível com conservação). O invariável final mínimo corresponde à energia de repouso total:
- Igualando
inicial e :
- Cancelando
e isolando :
- Interpretação: a energia mínima do fóton para criar o par, com núcleo de massa
inicialmente em repouso, é
- Caso prático muito comum: se o núcleo for muito pesado (
), o termo é desprezível e
Para criação de um par elétron-pósitron (
) isso dá, numericamente,
Se o núcleo for apenas um próton, a correção é pequena:
, então o segundo termo adiciona cerca de
, de modo que
. Para núcleos pesados a energia mínima efetiva é praticamente
.
Passo 6
Cenário alternativo — pariação por colisão de dois fótons:
- Fórmula geral (dos invariantes) para duas partículas fotônicas que colidem com energias
e e ângulo entre elas é (condição para poder criar um par de massa ):
- Caso especial mais simples: colisão frontal (head-on) com
temos , então a condição vira
- Se os dois fótons têm a mesma energia
, o limiar é , ou seja . Para elétrons isso significa que cada fóton precisa ter energia mínima
- Observação física: para dois fótons é possível criar um par sem necessidade de um terceiro corpo porque os dois fotões podem trocar momento entre si e produzir o estado massivo com conservação global satisfeita.
Passo 7
Resumo físico intuitivo e dicas para prova:
- Nunca aceite a ideia “um fóton no vácuo vira par” sem perguntar o que mais está presente para conservar momento. Use o argumento do quadrimomento invariável (fóton isolado tem invariável zero).
- Para soluções rápidas em prova: se o problema envolver um núcleo pesado, use
. Se envolver colisão de dois fótons idênticos de frente, use . - Para cálculos numéricos com elétron:
, logo duplo .