(4,0 Pontos) Em certas condições um fóton é capaz de criar matéria (partículas). Descreva o processo e calcule a energia mínima que deve ter o fóton para criar partícula(s).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) descrever o processo físico pelo qual um fóton pode “criar” matéria (i.e., gerar partículas massivas) e (2) calcular a energia mínima que o fóton deve ter para que isso ocorra. As informações relevantes implícitas no enunciado são: estamos falando de criação de partículas a partir de fótons (processos de pariação) e devemos tratar conservação de energia e momento (quantidades que regem se o processo é possível e qual é o limiar de energia).

Passo 2

Primeiro conceito essencial — conservação de energia e momento (resumo didático):
  • Energia total e momento total de um sistema isolado são conservados. Para partículas relativísticas usamos a 4-quantidade energia-momento, mas dá para entender com conservação escalar de energia e vetorial de momento.
  • Um fóton tem energia E_\gamma e momento de módulo p_\gamma = E_\gamma/c. A sua “massa de repouso” é zero: o quadrimomento do fóton tem a propriedade de que o seu quadrado invariável é zero.
  • Para criar partículas massivas (com massa de repouso m) precisamos fornecer pelo menos a energia de repouso dessas partículas (por exemplo, para criar um par elétron-pósitron precisamos de ao menos 2m_e c^2 em energia total disponível), além de satisfazer conservação de momento.

Passo 3

Por que um único fóton, sozinho no vácuo, NÃO pode se transformar numa partícula massiva (ou num par) sem outras coisas presentes?
Explicação didática e cálculo curto: suponha que um fóton no vácuo se transformasse num único corpo massivo de massa m. Pelo lado inicial o quadrado invariável do quadrimomento é zero (pois para o fóton p^\mu p_\mu = 0). Pelo lado final de uma partícula massiva temos p^\mu p_\mu = m^2 c^2 > 0. Como a quantidade invariável p^\mu p_\mu é conservada, não pode mudar de zero para m^2 c^2. Portanto a transformação é impossível. Mesmo se tentarmos formar duas partículas (par) no vácuo, o sistema final tem quadrado invariável positivo, diferente do inicial (fóton isolado), logo também é impossível. Conclusão: um fóton precisa interagir com outra entidade (ex.: um núcleo, outro fóton, elétron, etc.) para que o processo respeite conservação de energia e momento.

Passo 4

Descrição do processo realizável e esquema físico:
  • Processo típico em laboratórios e em astrofísica: pariação na presença de um núcleo (ou de outro corpo pesado). Reação simbólica: \gamma + \text{Núcleo}(M) \to \text{Núcleo}(M') + e^- + e^+úú. O núcleo serve para absorver o momento de recoíl, permitindo que energia e momento sejam satisfeitos simultaneamente.
  • Outro processo possível é a colisão de dois fótons: \gamma + \gamma \to e^- + e^+. Nesse caso a presença do segundo fóton permite conservar momento e energia sem necessidade de um objeto macroscópico.

Passo 5

Cálculo da energia mínima para um fóton produzir um par \,e^-e^+\, na presença de um núcleo pesado (derivação passo a passo com invariantes):
  • Método escolhido: usar a quantidade invariante s = (p_\text{inicial total})^2. Essa escolha é conveniente pois é independente do referencial e facilita achar o limiar (energia mínima) do processo.
  • Variáveis e significados:
    • E_\gamma: energia do fóton incidente.
    • M: massa de repouso do núcleo inicialmente em repouso.
    • m: massa de repouso da partícula criada (no caso elétron, m=m_e).
    • c: velocidade da luz.
  • No referencial em que o núcleo está inicialmente em repouso, as quantidades iniciais são:
    • Energia total inicial: E_\text{tot}^{\text{(i)}} = E_\gamma + M c^2.
    • Momento total inicial (módulo): p_\text{tot}^{\text{(i)}} = E_\gamma / c (direção do fóton).
  • O invariável energético-quadrático inicial (vamos chamar de S, em unidades de energia ao quadrado) é:
S = \big(E_\gamma + M c^2\big)^2 - \big(p_\text{tot}^{\text{(i)}} c\big)^2.
Substituindo p_\text{tot}^{\text{(i)}} c = E_\gamma obtemos:
S = (E_\gamma + M c^2)^2 - E_\gamma^2 = M^2 c^4 + 2 E_\gamma M c^2.
  • No limiar (energia mínima) os produtos finais têm energia mínima combinada: isto acontece quando as partículas criadas e o núcleo recoem como um sistema conjunto sem energia cinética interna extra (configuração de mínimo energético compatível com conservação). O invariável final mínimo corresponde à energia de repouso total:
S_{\min} = (M c^2 + 2 m c^2)^2 = \big(M + 2m\big)^2 c^4.
  • Igualando S inicial e S_{\min}:
M^2 c^4 + 2 E_\gamma M c^2 = \big(M + 2m\big)^2 c^4 = M^2 c^4 + 4 m M c^4 + 4 m^2 c^4.
  • Cancelando M^2 c^4 e isolando E_\gamma:
2 E_\gamma M c^2 = 4 m M c^4 + 4 m^2 c^4
E_\gamma = 2 m c^2 + \frac{2 m^2 c^2}{M}.
  • Interpretação: a energia mínima do fóton para criar o par, com núcleo de massa M inicialmente em repouso, é
\boxed{E_{\min} = 2 m c^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right).}
  • Caso prático muito comum: se o núcleo for muito pesado ( M \gg m), o termo \frac{m}{M} é desprezível e
E_{\min} \approx 2 m c^2.
Para criação de um par elétron-pósitron ( m=m_e) isso dá, numericamente,
2 m_e c^2 \approx 1{,}022\\ \text{MeV}.
Se o núcleo for apenas um próton, a correção é pequena: m_e/M_p \approx 1/1836, então o segundo termo adiciona cerca de 0{,}000557\\ \text{MeV}, de modo que E_{\min}\approx 1{,}0226\\ \text{MeV}. Para núcleos pesados a energia mínima efetiva é praticamente 1{,}022\\ \text{MeV}.

Passo 6

Cenário alternativo — pariação por colisão de dois fótons:
  • Fórmula geral (dos invariantes) para duas partículas fotônicas que colidem com energias E_1 e E_2 e ângulo entre elas \theta é (condição para poder criar um par de massa m):
E_1 E_2 (1 - \cos\theta) \ge m^2 c^4.
  • Caso especial mais simples: colisão frontal (head-on) com \theta = \pi temos 1-\cos\theta = 2, então a condição vira
2 E_1 E_2 \ge 4 m^2 c^4 \quad\Longrightarrow\quad E_1 E_2 \ge m^2 c^4.
  • Se os dois fótons têm a mesma energia E, o limiar é E^2 = m^2 c^4, ou seja E = m c^2. Para elétrons isso significa que cada fóton precisa ter energia mínima
E = m_e c^2 \approx 0{,}511\\ \text{MeV} \quad(\text{ou }511\\ \text{keV}).
  • Observação física: para dois fótons é possível criar um par sem necessidade de um terceiro corpo porque os dois fotões podem trocar momento entre si e produzir o estado massivo com conservação global satisfeita.

Passo 7

Resumo físico intuitivo e dicas para prova:
  • Nunca aceite a ideia “um fóton no vácuo vira par” sem perguntar o que mais está presente para conservar momento. Use o argumento do quadrimomento invariável (fóton isolado tem invariável zero).
  • Para soluções rápidas em prova: se o problema envolver um núcleo pesado, use E_{\min}\approx 2 m c^2. Se envolver colisão de dois fótons idênticos de frente, use E_{\min\,(cada)} = m c^2.
  • Para cálculos numéricos com elétron: m_e c^2 = 0{,}511\\ \text{MeV}, logo duplo =1{,}022\\ \text{MeV}.

Resposta

E_{\min} = 2 m c^2\left(1+\dfrac{m}{M}\right) (fóton produzindo par na presença de um núcleo de massa M); para núcleo muito pesado E_{\min}\approx 2 m c^2.\nPara criação de e^-e^+: E_{\min}\approx 1{,}022\\ \text{MeV}.\nNo caso de colisão frontal de dois fótons idênticos: cada fóton precisa ter E_{\min}=m c^2 (para elétron E=0{,}511\\ \text{MeV}).

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