3- ( 2,0 pontos) Um cilindro vertical com 1 m de diâmetro e 2 m de altura é preenchido completamente com gasolina, cuia densidade é de 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O tanque agora é posto a rotar em torno do seu eixo vertical a uma taxa de 90 rpm , enquanto é acelerado para cima a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine a) a diferença entre pressões nos centros das superfícies inferior e superior e b) a diferença entre as pressões no centro e na borda da superfície inferior.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro vertical de diâmetro 1,m (raio R=0,5,m) e altura h=2,m, totalmente cheio de gasolina com densidade \rho=800,kg/m³. O tanque gira a 90 rpm em torno do eixo vertical e sofre aceleração para cima de a=5,m/s². Precisamos usar estática de fluidos em referencial acelerado, onde aparece uma aceleração efetiva no sentido negativo (para baixo) igual a g+a, e também o “campo de aceleração” radial \omega^2 r devido à rotação. Vamos calcular:
a) \Delta p entre o centro da face inferior e o centro da face superior (mesmo r).
b) \Delta p entre o centro ( r=0) e a borda ( r=R) da face inferior (mesmo z).

Passo 2

Para a diferença de pressão vertical usamos a equação hidrostática no referencial acelerado:
\frac{dp}{dz} = \rho\,(g + a),
onde z mede a altura a partir da face inferior. Integrando de z=0 (inferior) até z=h (superior):
p_{\rm inf} - p_{\rm sup} = \int_{0}^{h}\rho\,(g + a)\,dz = \rho\,(g + a)\,h.
Substituindo \rho=800,kg/m³, g=9,81,m/s², a=5,m/s² e h=2,m:
p_{\rm inf} - p_{\rm sup} = 800\,(9,81 + 5)\,2 = 800 \times 14,81 \times 2 = 2,37 \times 10^{4}\text{ Pa}.

Passo 3

Para a diferença de pressão na face inferior entre r=0 e r=R usamos a variação radial em regime permanente:
\frac{dp}{dr} = \rho\,\omega^2\,r,
com \omega em rad/s. Como 90 rpm = 1{,}5 rps, \omega = 1{,}5\times 2\pi = 3\pi,rad/s. Integramos de r=0 a r=R:
p(R) - p(0) = \int_{0}^{R}\rho\,\omega^2\,r\,dr = \tfrac12\,\rho\,\omega^2\,R^2.
Substituindo \rho=800,kg/m³, \omega=3\pi,rad/s e R=0,5,m:
p(R) - p(0) = \tfrac12\times 800 \times (3\pi)^2 \times (0,5)^2 \approx 8,88 \times 10^{3}\text{ Pa}.

Resposta

a) p_{\rm inf}-p_{\rm sup}=2,37\times10^{4},Pa
b) p(R)-p(0)=8,88\times10^{3},Pa

Exercícios relacionados