(3,0 pontos) Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). Assinale suas respostas ao lado dos itens. Cada respost a correta soma 0,2 ponto; cada resposta errada subtrai 0,2 ponto; respost as em branco são ignoradas, ou seja, não somam nem subtraem ponto.
(a) Seja A uma matriz de ordem n \times m e B uma matriz de ordem m \times k. Então, (A B)^{T}=A^{T} B^{T}.
(b) Sejam A e B duas matrizes invertíveis de ordem n \times n. Ent ão, (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}.
(c) Seja A uma matriz quadrada invertível. Então, \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}.
(d) Seja A uma matriz quadrada invertível. Então, \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\operatorname{det}\left(A^{T}\right)
(e) Sejam A e B duas matrizes quadradas. Então, \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B).
(f) Seja um sistema de equações lineares A x=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2\end{array}\right]. Esse sistem a tem solução para todo \mathbf{b}.
(g) Sejam r um escalar e \mathbf{v} um vetor no \mathbb{R}^{n}. Então, \|r \mathbf{v}\|=r\|\mathbf{v}\|
(h) Sejam \mathbf{u}=(1,2,3,4) e \mathbf{v}=(1,2,3,1). Então, o ângulo formado entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é de 30^{0}.
(i) Seja A uma matriz invertível. Então, \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1 / \operatorname{det}(A).
(j) Os vetores \mathbf{v}_{1}=(1,1,0), \mathbf{v}_{2}=(0,1,1) e \mathbf{v}_{3}=(1,0,1) formam uma base para o \mathbb{R}^{3}.
(k) Um conjunto de vetores que gera o \mathbb{R}^{n} deve ter no máximo n elementos.
(1) Alguns sistemas homogêneos de equações lineares não possuem solução.
(m) Seja um sistema de equações lineares A x=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]. Dependendo de \mathbf{b}_{\text {, }} esse sistema pode ter infinitas soluções.
(n) Sejam A e B duas matrizes n \times n. Se A B=-B A, então \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)=-\operatorname{det}(B) \operatorname{det}(A) para n par.
(o) Seja A uma matriz quadrada não-singular. Se invertermos a posição de duas de suas colunas, o sinal do seu determinante inverte.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cada afirmação entre verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve propriedades de matrizes (transposta, inversa, determinante, anticomutação), sistemas lineares (posto, solução), normas e produto interno, e conceitos de espaço vetorial (base, geração, sistemas homogêneos).
Passo 2
Para (a) usamos a propriedade do transposto de um produto: para matrizes compatíveis vale
(AB)^{T}=B^{T}A^{T},
não A^{T}B^{T}. Portanto (a) é F.
Passo 3
Para (b) a inversa de um produto satisfaz
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},
logo (b) é V.
Para (c) aplicamos primeiro inversa e depois transposta ou vice-versa, lembrando que inversa e transposta comutam:
Em geral \tfrac1{\det(A)}\neq\det(A), então (d) é F.
Para (e) vale sempre
\det(AB)=\det(A)\,\det(B),
logo (e) é V.
Passo 5
Em (f) temos A de ordem 2\times3. Calculemos o posto: as duas linhas (1,4,3) e (3,1,2) são linearmente independentes, então \operatorname{rank}(A)=2. Como o sistema Ax=b tem duas equações em R^{2} e posto igual ao número de linhas, a aplicação é sobrejetora em R^{2}. Assim existe solução para todo b\in\mathbb{R}^{2}. Logo (f) é V.
Passo 6
Em (g) a norma obedece
\|r\,v\|=|r|\,\|v\|,
não r\|v\|. Sem o valor absoluto em geral dá diferença de sinal, então (g) é F.
logo são linearmente independentes e formam base de \mathbb{R}^3. Assim (j) é V.
Passo 10
Para (k) um conjunto que gera \mathbb{R}^n pode ter mais de n vetores (basta repetir vetores ou incluir combinações). O que não pode exceder n é o tamanho de um conjunto independente. Então (k) é F.
Passo 11
Em (l) todo sistema homogêneo Ax=0 sempre tem pelo menos a solução trivial x=0. Não existe sistema homogêneo sem solução. Logo (l) é F.
tem \det(A)=0, logo \operatorname{rank}(A)<3. Se b estiver no espaço coluna teremos infinitas soluções; se não, nenhuma. Assim dependendo deb podem surgir infinitas soluções. Logo (m) é V.
Passo 13
Em (n) partindo de AB=-BA, tomando determinante:
\det(AB)=\det(-BA)=(-1)^{n}\det(B)\det(A).
Mas \det(AB)=\det(A)\det(B) e \det(A)\det(B)=\det(B)\det(A) sempre. Para n par temos (-1)^{n}=1, não -1. A igualdade proposta é falsa. Logo (n) é F.
Passo 14
Em (o) trocar duas colunas de uma matriz quadrada inverte o sinal do determinante. Portanto (o) é V.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V
(f) V
(g) F
(h) F
(i) V
(j) V
(k) F
(l) F
(m) V
(n) F
(o) V