(2,0 Pontos). Uma massa de 1 kg está presa a uma mola que obedece à lei de Hooke, com constante elástica igual a
. A massa está conectada a um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de
, que exerce uma força proporcional e oposta à velocidade da massa. Inicialmente, a massa está na posição de equilíbrio da mola (posição zero), mas é empurrada com uma velocidade inicial de
. Considerando que não há forças externas atuando além do amortecimento e da mola, determine a equação diferencial que descreve o movimento da massa e resolva para a função deslocamento em função do tempo.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa, com massa de
,kg, constante elástica
,N/m e coeficiente de amortecimento
,N·s/m. A massa parte da posição de equilíbrio, ou seja,
, com velocidade inicial
,m/s. Nosso objetivo é formular a equação diferencial segundo a 2ª lei de Newton e resolver para
.
Passo 2
Pela 2ª lei de Newton, a soma das forças resulta em
Reorganizando, obtemos a forma padrão
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação padrão, vem
A equação característica associada é
Passo 4
Calculamos o discriminante:
logo há raiz dupla
Trata-se de amortecimento crítico, cuja solução geral é
Passo 5
Usando as condições iniciais:
- Em ,
.
- A derivada é
- Em
- A derivada é
então
.
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