(2,0 Pontos). Uma massa de 1 kg está presa a uma mola que obedece à lei de Hooke, com constante elástica igual a 9 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa está conectada a um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 6 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}, que exerce uma força proporcional e oposta à velocidade da massa. Inicialmente, a massa está na posição de equilíbrio da mola (posição zero), mas é empurrada com uma velocidade inicial de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que não há forças externas atuando além do amortecimento e da mola, determine a equação diferencial que descreve o movimento da massa e resolva para a função deslocamento em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa, com massa de 1,kg, constante elástica k=9,N/m e coeficiente de amortecimento c=6,N·s/m. A massa parte da posição de equilíbrio, ou seja, x(0)=0, com velocidade inicial x'(0)=2,m/s. Nosso objetivo é formular a equação diferencial segundo a 2ª lei de Newton e resolver para x(t).

Passo 2

Pela 2ª lei de Newton, a soma das forças resulta em
m\,x''(t)=\text{soma das forças}=-k\,x(t)-c\,x'(t).ç
Reorganizando, obtemos a forma padrão
m\,x''(t)+c\,x'(t)+k\,x(t)=0.

Passo 3

Substituindo m=1, c=6 e k=9 na equação padrão, vem
x''(t)+6\,x'(t)+9\,x(t)=0.
A equação característica associada é
r^2+6r+9=0.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
\Delta =6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0,
logo há raiz dupla
r=-\frac{6}{2}=-3.
Trata-se de amortecimento crítico, cuja solução geral é
x(t)=\bigl(A+B\,t\bigr)e^{-3t}.

Passo 5

Usando as condições iniciais:
- Em t=0, x(0)=A=0.
- A derivada é
x'(t)=\bigl(B-3(A+B\,t)\bigr)e^{-3t}=\bigl(B-3B\,t\bigr)e^{-3t},
então x'(0)=B=2.
Logo
x(t)=2\,t\,e^{-3t}.

Resposta

x''(t)+6\,x'(t)+9\,x(t)=0
x(t)=2\,t\,e^{-3t}

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