(2,0 Pontos). Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais utilizando Laplace dada a condição inicial de x(0)=1 e y(0)=0
\begin{aligned} & \frac{d y}{d t}=x-2 y \\\ & \frac{d x}{d t}=-2 x+y \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais
\begin{aligned} \frac{d y}{d t} &= x - 2\,y,\\\ \frac{d x}{d t} &= -2\,x + y, \end{aligned}
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos transformar as duas equações em um sistema algébrico em s, resolver para X(s) e Y(s) e então aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada equação e usando
\mathcal{L}\{\dot f(t)\}(s)=sF(s)-f(0), obtemos
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{d y}{d t}\Bigr\}(s)\;=\;s\,Y(s)-y(0)\;=\;X(s)\;-\;2\,Y(s),
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{d x}{d t}\Bigr\}(s)\;=\;s\,X(s)-x(0)\;=\;-2\,X(s)\;+\;Y(s).
Substituindo y(0)=0 e x(0)=1, fica
s\,Y(s) = X(s) - 2\,Y(s),
s\,X(s) - 1 = -2\,X(s) + Y(s).

Passo 3

Reescrevendo cada uma:
(s+2)\,Y(s) = X(s),
(s+2)\,X(s) - 1 = Y(s).
Substituindo X(s)=(s+2)Y(s) na segunda equação:
(s+2)\bigl((s+2)\,Y(s)\bigr)-1 = Y(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\bigl((s+2)^2 - 1\bigr) = 1.
Como (s+2)^2-1 = s^2+4s+3=(s+1)(s+3), temos
Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+3)}, \quad X(s)=(s+2)\,Y(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais:
X(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)} =\frac{1/2}{s+1}+\frac{1/2}{s+3},
Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+3)} =\frac{1/2}{s+1}-\frac{1/2}{s+3}.

Passo 5

Aplicando transformada inversa de Laplace:
x(t)=\frac12\,e^{-t}+\frac12\,e^{-3t}, \qquad y(t)=\frac12\,e^{-t}-\frac12\,e^{-3t}.

Resposta

x(t)=\tfrac12e^{-t}+\tfrac12e^{-3t},\quad y(t)=\tfrac12e^{-t}-\tfrac12e^{-3t}.

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