(2,5 pontos) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (
) e justifique sua resposta:
a)
ponto)
existe,
b) ( 0,6 ponto)
conjunto de pontos de uma circunferência é o gráfico de uma função,
c) ( 0,6 ponto) O domínio da função secante é o conjunto dos números reais
,
d)
ponto) Se
e
, então
.
a)
b) ( 0,6 ponto)
c) ( 0,6 ponto) O domínio da função secante é o conjunto dos números reais
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou tem quatro afirmações (a, b, c e d) e precisamos dizer se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando nossa resposta. Vamos usar conceitos de limites, funções, gráficos e propriedades de funções para resolver. Bora entender cada parte uma por uma!
Passo 2
Letra a)
Queremos saber se o limite
existe.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que
. Então:
Onde
.
Agora, estamos calculando
de
.
Sabemos que
e
. Portanto:
Então, o limite existe e é igual a -1.
Passo 3
Letra b)
A afirmação é: “O conjunto de pontos de uma circunferência é o gráfico de uma função.”
Vamos lembrar que o gráfico de uma função deve passar no teste da linha vertical, ou seja, para cada valor de
existe apenas um valor de
.
No caso de uma circunferência, por exemplo,
, para cada
(dentro de
a
) existem dois valores de
: um positivo e outro negativo.
Como tem dois valores de
para um único
, isso significa que não é o gráfico de uma função.
Passo 4
Letra c)
A afirmação é: “O domínio da função secante é o conjunto dos números reais
.”
A função secante é definida como
. Para que
exista,
não pode ser zero.
Sabemos que
quando
, onde
é qualquer inteiro.
Portanto, o domínio de
é
menos os valores onde
.
Passo 5
Letra d)
A afirmação é: “Se
e
, então
.”
Vamos simplificar
:
Desde que
(para evitar divisão por zero), temos que
para todo
no domínio.
Resposta
a) Verdadeiro (V). O limite existe e é igual a -1.
b) Falso (F). A circunferência não é o gráfico de uma função porque para alguns
há dois valores de
.
c) Falso (F). O domínio da função secante é
menos os pontos onde
.
d) Verdadeiro (V). As funções
e
são iguais para todo
.