(2,5 pontos) Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ) e justifique sua resposta:
a) (0,7 ponto) lim x pi / 2(1sin (x-pi)-cot (x-pi)) existe,
b) ( 0,6 ponto) O conjunto de pontos de uma circunferência é o gráfico de uma função,
c) ( 0,6 ponto) O domínio da função secante é o conjunto dos números reais R,
d) (0,6 ponto) Se f(x)=x^2-4 x+4x-2 e g(x)=x-2, então f=g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou tem quatro afirmações (a, b, c e d) e precisamos dizer se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando nossa resposta. Vamos usar conceitos de limites, funções, gráficos e propriedades de funções para resolver. Bora entender cada parte uma por uma!

Passo 2

Letra a)
Queremos saber se o limite lim x pi / 2(1sin (x-pi)-cot (x-pi)) existe.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que cot(y) = cos(y)sin(y). Então:
1sin(y) - cot(y) = 1sin(y) - cos(y)sin(y) = 1 - cos(y)sin(y)
Onde y = x - pi .
Agora, estamos calculando limy to pi/2 - pi = limy to -pi/2 de 1 - cos(y)sin(y).
Sabemos que cos(-pi/2) = 0 e sin(-pi/2) = -1. Portanto:
1 - 0-1 = -1
Então, o limite existe e é igual a -1.

Passo 3

Letra b)
A afirmação é: “O conjunto de pontos de uma circunferência é o gráfico de uma função.”
Vamos lembrar que o gráfico de uma função deve passar no teste da linha vertical, ou seja, para cada valor de x existe apenas um valor de y.
No caso de uma circunferência, por exemplo, x^2 + y^2 = r^2, para cada x (dentro de -r a r) existem dois valores de y: um positivo e outro negativo.
Como tem dois valores de y para um único x, isso significa que não é o gráfico de uma função.

Passo 4

Letra c)
A afirmação é: “O domínio da função secante é o conjunto dos números reais R.”
A função secante é definida como sec(x) = 1cos(x). Para que sec(x) exista, cos(x) não pode ser zero.
Sabemos que cos(x) = 0 quando x = pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro.
Portanto, o domínio de sec(x) é R menos os valores onde cos(x) = 0.

Passo 5

Letra d)
A afirmação é: “Se f(x)=x^2-4 x+4x-2 e g(x)=x-2, então f = g.”
Vamos simplificar f(x):
f(x) = x^2 - 4x + 4x - 2 = (x - 2)^2x - 2 = x - 2
Desde que x neq 2 (para evitar divisão por zero), temos que f(x) = g(x) para todo x no domínio.

Resposta

a) Verdadeiro (V). O limite existe e é igual a -1.
b) Falso (F). A circunferência não é o gráfico de uma função porque para alguns x há dois valores de y.
c) Falso (F). O domínio da função secante é R menos os pontos onde cos(x) = 0.
d) Verdadeiro (V). As funções f e g são iguais para todo x neq 2.

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