(7 pontos) Um conhecido remédio é eficaz no controle da asma. Entretanto, uma empresa farmacêutica produziu uma nova droga tão eficaz quanto a primeira e, segundo ela, seu produto é melhor por demorar menos tempo para fazer efeito. Suponha que o tempo que o primeiro remédio \left(X_{1}\right) leva para fazer efeito seja normalmente distribuído, com média \mu_{1} e variância \sigma_{1}^{2}, e o tempo que o segundo remédio leva para agir ( X_{2} ), também seja normalmente distribuído, com média \mu_{2} e variância \sigma_{2}^{2}, sendo \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma^{2}. A empresa que produz a primeira droga realizou um teste de hipóteses aplicando os remédios a dois grupos de pessoas ( 6 pessoas para o grupo 1 e 5 pessoas para o grupo 2) obtendo os seguintes valores para o tempo até que o remédio fizesse efeito:
X_{1}
18
13
27
18
22
29
X_{2}
34
32
28
27
19
Com base nestas informações há motivos que indiquem à primeira empresa que sua concorrente mentiu ao nível de 1 \% de significância?
Passo 1
O enunciado dá um experimento com dois grupos: um tratado com o remédio 1 (grupo 1) e outro com o remédio 2 (grupo 2). A empresa concorrente afirma que o remédio 2 demora menos tempo para fazer efeito (ou seja, tem média menor). A primeira empresa quer saber, ao nível de significância de 1\%, se há motivos para acreditar que a concorrente mentiu (isto é, se os dados mostram que o remédio 2 não é mais rápido). Informações fornecidas (dados observados):
Tamanhos das amostras: \,n_{1}=6 e \,n_{2}=5. Foi informado que as distribuições são normais e que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma^{2} (variâncias iguais, mas desconhecidas).
O que nos perguntam: com significância \alpha=0{,}01, há evidência de que a concorrente mentiu sobre o remédio 2 ser mais rápido?
Passo 2
Definimos hipóteses alinhadas ao objetivo prático: a concorrente afirma que o remédio 2 é mais rápido (\mu_{2}<\mu_{1}). A empresa 1 quer ver se essa afirmação é falsa; como os dados mostram tempos, podemos testar se o remédio 2 é, na verdade, mais lento (\mu_{2}>\mu_{1}). Vou formular o teste de forma padrão colocando igualdade na hipótese nula e testando a direção que interessa à decisão da empresa 1:
H_{0}:\\ \mu_{2} = \mu_{1}
H_{a}:\\ \mu_{2} > \mu_{1}
Este é um teste t de duas amostras com variâncias assumidas iguais (teste t pareado por variâncias iguais, mas as amostras são independentes — o que usamos é a versão de duas amostras com variâncias iguais). Motivação: com normalidade e variâncias iguais desconhecidas, o teste t com variância agrupada (pooled) é o método natural e é o que dá mais poder quando a suposição de igualdade de variâncias é aceitável.
Fórmula do estatístico de teste (explicando cada parte):
Rejeitamos H_{0} em favor de H_{a} (concluímos que o remédio 2 é mais lento, logo a concorrente pode ter mentido) se T for suficientemente grande, i.e., se T>t_{1-\alpha,\;n_{1}+n_{2}-2}. Aqui \alpha=0{,}01.
Passo 3
Calcular médias e variâncias amostrais passo a passo.
Critério de rejeição: para o teste unilateral à direita com \alpha=0{,}01 e \nu=9, o valor crítico é
t_{1-\alpha,\;9}=t_{0{,}99,\;9}\approx 2{,}821
Rejeitamos H_{0} em favor de H_{a} (concluímos que \mu_{2}>\mu_{1}, ou seja, que o remédio 2 é mais lento e a concorrente mentiu) se
T>2{,}821.
Passo 7
Comparação e conclusão: o estatístico calculado é T=1{,}902, que é menor que o crítico 2{,}821. Portanto não rejeitamos H_{0} ao nível de significância de 1\%.
Interpretação prática: os dados amostrais mostram uma média de tempo maior para o remédio 2 (28{,}0 versus 21{,}1667), isto é, na amostra o remédio 2 foi mais lento. Porém essa diferença não é suficientemente forte para concluir, com confiança de 99\% (\alpha=0{,}01), que a diferença é real na população (não há evidência estatística suficiente para afirmar que \mu_{2}>\mu_{1} ao nível de 1\%). Em outras palavras, ao nível de 1\% não há prova estatística de que a concorrente mentiu.
Observação adicional (útil para sua intuição): o valor-p unilateral associado a T=1{,}902 com \nu=9 é aproximadamente 0{,}04–0{,}05 (ou seja, menor que 0{,}05 mas maior que 0{,}01). Isso explica por que a conclusão muda se o nível de significância fosse 5\% (lá talvez rejeitássemos), mas com 1\% é insuficiente.
Resposta
Não há evidências, ao nível de significância de 1\%, para afirmar que a concorrente mentiu (não rejeitamos H_{0}; T=1{,}902<2{,}821).