(7 pontos) Um conhecido remédio é eficaz no controle da asma. Entretanto, uma empresa farmacêutica produziu uma nova droga tão eficaz quanto a primeira e, segundo ela, seu produto é melhor por demorar menos tempo para fazer efeito. Suponha que o tempo que o primeiro remédio \left(X_{1}\right) leva para fazer efeito seja normalmente distribuído, com média \mu_{1} e variância \sigma_{1}^{2}, e o tempo que o segundo remédio leva para agir ( X_{2} ), também seja normalmente distribuído, com média \mu_{2} e variância \sigma_{2}^{2}, sendo \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma^{2}. A empresa que produz a primeira droga realizou um teste de hipóteses aplicando os remédios a dois grupos de pessoas ( 6 pessoas para o grupo 1 e 5 pessoas para o grupo 2) obtendo os seguintes valores para o tempo até que o remédio fizesse efeito:
X_{1} 18 13 27 18 22 29
X_{2} 34 32 28 27 19
Com base nestas informações há motivos que indiquem à primeira empresa que sua concorrente mentiu ao nível de 1 \% de significância?

Passo 1

O enunciado dá um experimento com dois grupos: um tratado com o remédio 1 (grupo 1) e outro com o remédio 2 (grupo 2). A empresa concorrente afirma que o remédio 2 demora menos tempo para fazer efeito (ou seja, tem média menor). A primeira empresa quer saber, ao nível de significância de 1\%, se há motivos para acreditar que a concorrente mentiu (isto é, se os dados mostram que o remédio 2 não é mais rápido). Informações fornecidas (dados observados):
\text{Grupo 1 (remédio 1): } X_{1} = 18,\;13,\;27,\;18,\;22,\;29é
\text{Grupo 2 (remédio 2): } X_{2} = 34,\;32,\;28,\;27,\;19é
Tamanhos das amostras: \,n_{1}=6 e \,n_{2}=5. Foi informado que as distribuições são normais e que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma^{2} (variâncias iguais, mas desconhecidas).
O que nos perguntam: com significância \alpha=0{,}01, há evidência de que a concorrente mentiu sobre o remédio 2 ser mais rápido?

Passo 2

Definimos hipóteses alinhadas ao objetivo prático: a concorrente afirma que o remédio 2 é mais rápido ( \mu_{2}<\mu_{1}). A empresa 1 quer ver se essa afirmação é falsa; como os dados mostram tempos, podemos testar se o remédio 2 é, na verdade, mais lento ( \mu_{2}>\mu_{1}). Vou formular o teste de forma padrão colocando igualdade na hipótese nula e testando a direção que interessa à decisão da empresa 1:
H_{0}:\\ \mu_{2} = \mu_{1}
H_{a}:\\ \mu_{2} > \mu_{1}
Este é um teste t de duas amostras com variâncias assumidas iguais (teste t pareado por variâncias iguais, mas as amostras são independentes — o que usamos é a versão de duas amostras com variâncias iguais). Motivação: com normalidade e variâncias iguais desconhecidas, o teste t com variância agrupada (pooled) é o método natural e é o que dá mais poder quando a suposição de igualdade de variâncias é aceitável.
Fórmula do estatístico de teste (explicando cada parte):
T=\frac{\overline{X}_{2}-\overline{X}_{1}}{S_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}
onde
  • \overline{X}_{1} e \overline{X}_{2} são as médias amostrais dos grupos 1 e 2;
  • S_{p} é o desvio-padrão “agregado” (pooled), obtido a partir das variâncias amostrais S_{1}^{2} e S_{2}^{2};
  • \,S_{p}^{2}=\dfrac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2};
  • os graus de liberdade são \,n_{1}+n_{2}-2.
Rejeitamos H_{0} em favor de H_{a} (concluímos que o remédio 2 é mais lento, logo a concorrente pode ter mentido) se T for suficientemente grande, i.e., se T>t_{1-\alpha,\;n_{1}+n_{2}-2}. Aqui \alpha=0{,}01.

Passo 3

Calcular médias e variâncias amostrais passo a passo.
Cálculo das médias:
\overline{X}_{1}=\frac{18+13+27+18+22+29}{6}=\frac{127}{6}=21{,}1667
\overline{X}_{2}=\frac{34+32+28+27+19}{5}=\frac{140}{5}=28{,}0
Cálculo das somas de quadrados (diferenças ao quadrado) para as variâncias amostrais.
Para o grupo 1 (vou mostrar cada diferença ao quadrado):
(18-\overline{X}_{1})^{2}=(-3{,}1667)^{2}=10{,}0278
(13-\overline{X}_{1})^{2}=(-8{,}1667)^{2}=66{,}6944
(27-\overline{X}_{1})^{2}=(5{,}8333)^{2}=34{,}0278
(18-\overline{X}_{1})^{2}=10{,}0278
(22-\overline{X}_{1})^{2}=(0{,}8333)^{2}=0{,}6944
(29-\overline{X}_{1})^{2}=(7{,}8333)^{2}=61{,}3611
Somando:
\sum (X_{1i}-\overline{X}_{1})^{2}=182{,}8333
Portanto a variância amostral do grupo 1 é
S_{1}^{2}=\frac{182{,}8333}{n_{1}-1}=\frac{182{,}8333}{5}=36{,}5667
Para o grupo 2:
diferenças ao quadrado:
(34-28)^{2}=36,\quad (32-28)^{2}=16,\quad (28-28)^{2}=0,\quad (27-28)^{2}=1,\quad (19-28)^{2}=81
Somando:
\sum (X_{2j}-\overline{X}_{2})^{2}=134
Variância amostral do grupo 2:
S_{2}^{2}=\frac{134}{n_{2}-1}=\frac{134}{4}=33{,}5

Passo 4

Calcular a variância agrupada ( S_{p}^{2}) e o desvio-padrão agrupado ( S_{p}):
S_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} =\frac{5\cdot 36{,}5667 + 4\cdot 33{,}5}{9}
= \frac{182{,}8335 + 134}{9}=\frac{316{,}8335}{9}=35{,}2037
Logo
S_{p}=\sqrt{35{,}2037}=5{,}933
(Obs.: arredondei em cada passo para 4 casas decimais quando conveniente; os resultados mantêm a precisão suficiente para o teste.)

Passo 5

Calcular o estatístico T. Primeiro o numerador (diferença das médias):
\overline{X}_{2}-\overline{X}_{1}=28{,}0-21{,}1667=6{,}8333
O erro padrão:
\text{EP}=S_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} =5{,}933\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{5}} =5{,}933\sqrt{\frac{11}{30}}
\sqrt{\frac{11}{30}}=\sqrt{0{,}3666667}=0{,}60553
\text{EP}=5{,}933\times 0{,}60553=3{,}592
Portanto
T=\frac{6{,}8333}{3{,}592}=1{,}902
Graus de liberdade:
\nu = n_{1}+n_{2}-2=6+5-2=9

Passo 6

Critério de rejeição: para o teste unilateral à direita com \alpha=0{,}01 e \nu=9, o valor crítico é
t_{1-\alpha,\;9}=t_{0{,}99,\;9}\approx 2{,}821
Rejeitamos H_{0} em favor de H_{a} (concluímos que \mu_{2}>\mu_{1}, ou seja, que o remédio 2 é mais lento e a concorrente mentiu) se
T>2{,}821.

Passo 7

Comparação e conclusão: o estatístico calculado é T=1{,}902, que é menor que o crítico 2{,}821. Portanto não rejeitamos H_{0} ao nível de significância de 1\%.
Interpretação prática: os dados amostrais mostram uma média de tempo maior para o remédio 2 ( 28{,}0 versus 21{,}1667), isto é, na amostra o remédio 2 foi mais lento. Porém essa diferença não é suficientemente forte para concluir, com confiança de 99\% ( \alpha=0{,}01), que a diferença é real na população (não há evidência estatística suficiente para afirmar que \mu_{2}>\mu_{1} ao nível de 1\%). Em outras palavras, ao nível de 1\% não há prova estatística de que a concorrente mentiu.
Observação adicional (útil para sua intuição): o valor-p unilateral associado a T=1{,}902 com \nu=9 é aproximadamente 0{,}04 0{,}05 (ou seja, menor que 0{,}05 mas maior que 0{,}01). Isso explica por que a conclusão muda se o nível de significância fosse 5\% (lá talvez rejeitássemos), mas com 1\% é insuficiente.

Resposta

Não há evidências, ao nível de significância de 1\%, para afirmar que a concorrente mentiu (não rejeitamos H_{0}; T=1{,}902<2{,}821).

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