(7 pontos) Um engenheiro de softwares suspeita que o número de ataques cibernéticos que ocorrem diariamente em seu local de trabalho segue distribuição de Poisson com a média de 3 ataques por dia. Ele coleta os dados de 30 dias consecutivos e registra o número de ataques diários.
Número de ataques
0
1
2
3
4
5 ou mais
Frequência observada
1
3
6
10
8
2
a) Calcule a frequência esperada de ataques cibernéticos para cada classe (número de ataques) segundo a hipótese de que o modelo de Poisson com a média de 3 seja adequado.
b) Com base nesses dados, o engenheiro deseja realizar um teste de hipóteses ao nível de
de significância para verificar se suas suspeitas sobre a distribuição de Poisson com média 3 são embasadas pelos dados coletados. Proceda o teste desejado pelo engenheiro.
| Número de ataques | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ou mais |
| Frequência observada | 1 | 3 | 6 | 10 | 8 | 2 |
b) Com base nesses dados, o engenheiro deseja realizar um teste de hipóteses ao nível de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular as frequências esperadas por classe segundo a hipótese de Poisson com média .
b) Fazer um teste de aderência (qui‑quadrado) ao nível de significância para verificar se os dados são compatíveis com
.
a) Calcular as frequências esperadas por classe segundo a hipótese de Poisson com média
b) Fazer um teste de aderência (qui‑quadrado) ao nível de significância
Informações dadas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Tamanho da amostra:
. Hipótese nula: os dados seguem
.
Passo 2
Relembrando a fórmula da distribuição de Poisson (aula rápida): se
, então a probabilidade de
assumir o valor
é
onde
é a média (e variância) da distribuição,
é um inteiro não negativo,
é a base dos logaritmos naturais e
é o fatorial de
. Para obter a frequência esperada em
observações, multiplicamos
por
:
Aqui
e
. Vou calcular
para
e depois
por complemento.
Passo 3
Cálculos das probabilidades e das frequências esperadas (uso
nas contas):
Primeiro calculemos
. Vou usar a aproximação
.
- Para
:
Frequência esperada:
- Para
:
Frequência esperada:
- Para
:
Frequência esperada:
- Para
:
Frequência esperada:
- Para
:
Frequência esperada:
- Para
uso o complemento:
Somando as probabilidades
, então
Frequência esperada:
Portanto temos as frequências esperadas (arredondadas a 3 casas decimais):
Passo 4
Preparação do teste qui‑quadrado de aderência (lembrete didático):
- Hipóteses:
- Estatística de teste (qui‑quadrado):
onde
é a frequência observada e
a esperada na i‑ésima classe.
- Regra prática: cada
deve ser, preferencialmente, maior que 5. Se houver classes com , devemos agrupar classes adjacentes até que os combinados fiquem maiores que 5.
Observando os
calculados,
. Vou agrupar as classes
e
(adjacentes) para garantir
. Após agrupar, as classes usadas no teste serão:
(0 ou 1), 2, 3, 4, (≥5).
(0 ou 1), 2, 3, 4, (≥5).
Número de categorias após agrupamento:
. Como não estimamos parâmetro a partir dos dados (λ foi dado), o número de parâmetros estimados
. Portanto os graus de liberdade serão
Nível de significância:
.
Passo 5
Cálculo da estatística
. Primeiro calculemos as observadas e esperadas nas categorias combinadas:
- Categoria A:
ou :
- Categoria
:
- Categoria
:
- Categoria
:
- Categoria
:
Agora cada parcela
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Somando as parcelas obtemos a estatística
:
Graus de liberdade:
.
Para
e
o valor crítico da distribuição qui‑quadrado é aproximadamente
Como
, não temos evidência suficiente para rejeitar
ao nível de
.
Opcional: p‑valor aproximado. Para
com 4 gl, o p‑valor é cerca de
(aprox.
), bem maior que
, o que confirma a decisão de não rejeitar
.
Resposta
a) Frequências esperadas:
,
,
,
,
,
.\n
b) Teste qui‑quadrado: ,
,
. Como
, não se rejeita
ao nível de
(p‑valor aproximado
).
b) Teste qui‑quadrado: