(5,0 pontos) Considerando as funções f(x)=\frac{4 x-3}{x+2} e g(x)=3 x-5, responda o que se pede.
Sabendo que f é bijetiva, determine a sua inversa, isto é, f^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x) = \frac{4x - 3}{x + 2}
e diz que ela é bijetiva. Queremos encontrar f^{-1}. Para isso, vamos usar o método padrão de inverter uma função racional: definir y = f(x), isolar x em função de y e, por fim, trocar y por x.

Passo 2

Definindo
y = \frac{4x - 3}{x + 2},
multiplicamos ambos os lados por x + 2 para eliminar o denominador:
y\,(x + 2) = 4x - 3.

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e agrupando os termos que contêm x, temos
yx + 2y = 4x - 3 \quad\Longrightarrow\quad yx - 4x = -3 - 2y \quad\Longrightarrow\quad x\,(y - 4) = -3 - 2y.

Passo 4

Isolando x, obtemos
x = \frac{-3 - 2y}{\,y - 4\,}.
Multiplicando numerador e denominador por -1, fica
x = \frac{2y + 3}{\,4 - y\,}.
Portanto, trocando y por x, a inversa é
f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{4 - x}.

Resposta

f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{4 - x}.

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