(5,0 pontos) Considerando as funções f(x)=\frac{4 x-3}{x+2} e g(x)=3 x-5, responda o que se pede.
Sabendo que f é bijetiva, quem é o domínio de f ? e a imagem?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4x-3}{x+2}
e informa que f é bijetiva. Precisamos determinar o conjunto de todos os x para os quais f(x) está definida (domínio) e o conjunto de todos os valores que f pode assumir (imagem).

Passo 2

Para achar o domínio de f, basta observar o denominador. A função racional
f(x)=\frac{4x-3}{x+2}
não está definida se x+2=0. Logo,
x+2\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -2.
Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Passo 3

Para encontrar a imagem, escrevemos y=f(x) e isolamos x em função de y:
y=\frac{4x-3}{x+2} \quad\Longrightarrow\quad y(x+2)=4x-3 \quad\Longrightarrow\quad yx+2y=4x-3.
Reagrupando os termos em x:
yx-4x=-3-2y \quad\Longrightarrow\quad x(y-4)=-\,(2y+3) \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\,(2y+3)}{y-4}.
Para que essa expressão em x seja válida, deve valer y-4\neq0, ou seja, y\neq4. Assim f não assume o valor 4, mas atinge todo outro y\in\mathbb{R}.

Resposta

Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{-2\}
Imagem de f: \mathbb{R}\setminus\{4\}

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