(2.0) Sejam \vec{a}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right), \vec{b}=\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right) e \vec{c}=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) vetores.
a) Mostre que esses vetores formam uma base para \mathbf{R}^{3}
b) Essa base é ortogonal?
c) Escreva o vetor \vec{v}=3 \vec{j}-2 \vec{k} como combinação dos vetores dados.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbf{R}^3 \vec{a}=\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr), \vec{b}=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr) e \vec{c}=\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr),
e pede:
a) mostrar que formam base de \mathbf{R}^3;
b) verificar se essa base é ortogonal;
c) escrever \vec{v}=3\vec \jmath-2\vec k=(0,3,-2) nessa base.
O conteúdo envolvido é independência linear, produto escalar e mudança de base.
Passo 2
Para ver que \{\vec a,\vec b,\vec c\} é base, basta mostrar que são linearmente independentes, ou seja, que o determinante da matriz M cujas colunas são \vec a,\vec b,\vec c é não nulo.
A matriz é
e o mesmo vale para \vec b e \vec c.
Como são mutuamente ortogonais e unitários, a base é ortonormal (logo ortogonal).
Passo 4
Para expressar \vec v=(0,3,-2) nessa base ortonormal, basta usar \alpha=\vec a\cdot\vec v, \beta=\vec b\cdot\vec v, \gamma=\vec c\cdot\vec v.
Calculando:
\alpha=\vec a\cdot\vec v =0\cdot\tfrac{2}{3}+3\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+(-2)\tfrac{1}{3} =-2-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{8}{3},
\beta=\vec b\cdot\vec v =0\cdot\tfrac{2}{3}+3\cdot\tfrac{1}{3}+(-2)\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3},
\gamma=\vec c\cdot\vec v =0\cdot\tfrac{1}{3}+3\cdot\tfrac{2}{3}+(-2)\cdot\tfrac{2}{3} =2-\tfrac{4}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo
\vec v =-\tfrac{8}{3}\,\vec a +\tfrac{7}{3}\,\vec b +\tfrac{2}{3}\,\vec c.
Resposta
(a) Como \det M\neq0, os vetores são LI e formam base de \mathbf{R}^3.
(b) Sim, os produtos escalares entre pares são zero e cada vetor tem norma 1, logo a base é ortonormal (ortogonal).
(c)
\vec v =-\tfrac{8}{3}\,\vec a +\tfrac{7}{3}\,\vec b +\tfrac{2}{3}\,\vec c.