(2.0) Sejam \vec{a}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right), \vec{b}=\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right) e \vec{c}=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) vetores.
a) Mostre que esses vetores formam uma base para \mathbf{R}^{3}
b) Essa base é ortogonal?
c) Escreva o vetor \vec{v}=3 \vec{j}-2 \vec{k} como combinação dos vetores dados.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbf{R}^3 \vec{a}=\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr), \vec{b}=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr) e \vec{c}=\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr),
e pede:
a) mostrar que formam base de \mathbf{R}^3;
b) verificar se essa base é ortogonal;
c) escrever \vec{v}=3\vec \jmath-2\vec k=(0,3,-2) nessa base.
O conteúdo envolvido é independência linear, produto escalar e mudança de base.

Passo 2

Para ver que \{\vec a,\vec b,\vec c\} é base, basta mostrar que são linearmente independentes, ou seja, que o determinante da matriz M cujas colunas são \vec a,\vec b,\vec c é não nulo.
A matriz é
M=\begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
Para simplificar o cálculo, considere A=3M; então \det M=\frac1{3^3}\det A.
As colunas de A são (2,-2,1), (2,1,-2) e (1,2,2) e
\det A =2\begin{vmatrix}1 & -2\\\ 2 & 2\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}2 & -2\\\ 1 & 2\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{vmatrix} =2(1\cdot2-(-2)\cdot2)-2(2\cdot2-(-2)\cdot1)+(2\cdot2-1\cdot1) =3.
Logo \det M=\tfrac{3}{27}=\tfrac{1}{9}\neq0. Portanto são LI e formam base de \mathbf{R}^3.]

Passo 3

Para ver se a base é ortogonal, calculamos os produtos escalares
\vec a\cdot\vec b =\tfrac{2}{3}\tfrac{2}{3}+(-\tfrac{2}{3})\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}(-\tfrac{2}{3}) =\tfrac{4}{9}-\tfrac{2}{9}-\tfrac{2}{9}=0,
\vec a\cdot\vec c =\tfrac{2}{3}\tfrac{1}{3}+(-\tfrac{2}{3})\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}\tfrac{2}{3} =\tfrac{2}{9}-\tfrac{4}{9}+\tfrac{2}{9}=0,
\vec b\cdot\vec c =\tfrac{2}{3}\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}\tfrac{2}{3}+(-\tfrac{2}{3})\tfrac{2}{3} =\tfrac{2}{9}+\tfrac{2}{9}-\tfrac{4}{9}=0.
Cada vetor também tem norma
\|\vec a\| =\sqrt{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2+\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{4+4+1}{9}}=1
e o mesmo vale para \vec b e \vec c.
Como são mutuamente ortogonais e unitários, a base é ortonormal (logo ortogonal).

Passo 4

Para expressar \vec v=(0,3,-2) nessa base ortonormal, basta usar \alpha=\vec a\cdot\vec v, \beta=\vec b\cdot\vec v, \gamma=\vec c\cdot\vec v.
Calculando:
\alpha=\vec a\cdot\vec v =0\cdot\tfrac{2}{3}+3\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+(-2)\tfrac{1}{3} =-2-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{8}{3},
\beta=\vec b\cdot\vec v =0\cdot\tfrac{2}{3}+3\cdot\tfrac{1}{3}+(-2)\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3},
\gamma=\vec c\cdot\vec v =0\cdot\tfrac{1}{3}+3\cdot\tfrac{2}{3}+(-2)\cdot\tfrac{2}{3} =2-\tfrac{4}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo
\vec v =-\tfrac{8}{3}\,\vec a +\tfrac{7}{3}\,\vec b +\tfrac{2}{3}\,\vec c.

Resposta

(a) Como \det M\neq0, os vetores são LI e formam base de \mathbf{R}^3.
(b) Sim, os produtos escalares entre pares são zero e cada vetor tem norma 1, logo a base é ortonormal (ortogonal).
(c)
\vec v =-\tfrac{8}{3}\,\vec a +\tfrac{7}{3}\,\vec b +\tfrac{2}{3}\,\vec c.

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