Questão 1 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(x-y, y, x);

Passo 1

O enunciado define a aplicação \displaystyle T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, \;T(x,y)=(x-y,\;y,\;x).
Precisamos checar se T é linear e, em caso afirmativo, calcular \mathrm{posto}(T) e \mathrm{nulidade}(T).

Passo 2

Cada componente de T(x,y) é combinação linear de x e y sem termo constante. Em particular, para (x_i,y_i)\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R} vale
T((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) =(x_1+x_2 - (y_1+y_2),\,y_1+y_2,\,x_1+x_2) =T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2),
T\bigl(\alpha(x,y)\bigr) =(\alpha x-\alpha y,\;\alpha y,\;\alpha x) =\alpha\,(x-y,y,x) =\alpha\,T(x,y).
Logo, T é linear.

Passo 3

A matriz de T nas bases canônicas é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},
pois as colunas são T(1,0) e T(0,1).

Passo 4

Para calcular o posto, note que o menor 2\times2 formado pelas linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=1\neq0,
logo \mathrm{posto}(A)=2.

Passo 5

Pela dimensão do domínio \dim\mathbb{R}^2=2 e o Teorema da Dimensão,
\mathrm{nulidade}(T)=\dim\mathbb{R}^2-\mathrm{posto}(T)=2-2=0.

Resposta

T é linear, \mathrm{posto}(T)=2 e \mathrm{nulidade}(T)=0.

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