Questão 1 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas. V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(x-y, y, x);
Passo 1
O enunciado define a aplicação \displaystyle T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, \;T(x,y)=(x-y,\;y,\;x).
Precisamos checar se T é linear e, em caso afirmativo, calcular \mathrm{posto}(T) e \mathrm{nulidade}(T).
Passo 2
Cada componente de T(x,y) é combinação linear de x e y sem termo constante. Em particular, para (x_i,y_i)\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R} vale