( 2,5 pontos) Considere uma amostra de 86 elementos retirada de uma população cuja média amostral é 100 e com desvio padrão amostral 10. Com base nos dados, calcule um intervalo de confiança de
para a média populacional.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio padrão amostral:
. - O que pedir: calcular um intervalo de confiança de
para a média populacional.
Passo 2
Qual fórmula usar? Aqui a população tem variância desconhecida (só foi dada a amostra), então o intervalo mais exato usa a distribuição
de Student. Porém, a amostra é grande (
), e pelo Teorema do Limite Central a distribuição da média amostral fica próxima da normal; além disso, na prática, para
costuma-se usar a aproximação normal (valor crítico
). Vou usar essa aproximação normal porque é simples, suficientemente precisa para
e o enunciado não obrigou uso de
. Se preferir o
, o procedimento é o mesmo trocando
por
.
Passo 3
A fórmula do intervalo de confiança (com aproximação normal) para a média é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o quantil da normal padrão para o nível desejado (para , ); -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média:
portanto
Explanação curta: o erro padrão mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira; quanto maior
, menor esse erro.
Passo 5
Valor crítico para
(duas caudas):
. Isso vem da tabela da normal padrão: a área central de
deixa
em cada cauda, e o quantil correspondente é
.
Passo 6
Calcular a margem de erro:
Pequena verificação mental:
, ajustando pelo fato que
chega-se ao mesmo valor aproximado.
Passo 7
Calcular os limites do intervalo:
Arredondei para duas casas decimais; em provas normalmente se pede 2 casas ou 1 casa — fique atento às instruções do professor.
Passo 8
Interpretação (para fixar a ideia): dizer que o intervalo de confiança de
é
significa que, se repetíssemos o mesmo procedimento muitas vezes com amostras do mesmo tamanho, aproximadamente
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Não é correto dizer que há
de probabilidade da média estar nesse intervalo numa visão bayesiana; aqui a interpretação é frequencista como expliquei — mas, no dia da prova, basta dizer que estamos
confiantes de que a média populacional está nesse intervalo.