( 2,5 pontos) Considere uma amostra de 86 elementos retirada de uma população cuja média amostral é 100 e com desvio padrão amostral 10. Com base nos dados, calcule um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Tamanho da amostra: n=86.
  • Média amostral: \bar{x}=100.
  • Desvio padrão amostral: s=10.
  • O que pedir: calcular um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional.

Passo 2

Qual fórmula usar? Aqui a população tem variância desconhecida (só foi dada a amostra), então o intervalo mais exato usa a distribuição t de Student. Porém, a amostra é grande ( n=86), e pelo Teorema do Limite Central a distribuição da média amostral fica próxima da normal; além disso, na prática, para n>30 costuma-se usar a aproximação normal (valor crítico z). Vou usar essa aproximação normal porque é simples, suficientemente precisa para n=86 e o enunciado não obrigou uso de t. Se preferir o t, o procedimento é o mesmo trocando z por t_{0{,}975,\,85}.

Passo 3

A fórmula do intervalo de confiança (com aproximação normal) para a média é
\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=100);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão para o nível desejado (para 95\%, z_{0{,}975});
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=10);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=86);
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{86}\approx 9{,}2736,
portanto
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{86}}\approx\frac{10}{9{,}2736}\approx 1{,}078.
Explanação curta: o erro padrão mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira; quanto maior n, menor esse erro.

Passo 5

Valor crítico para 95\% (duas caudas): z_{0{,}975}=1{,}96. Isso vem da tabela da normal padrão: a área central de 95\% deixa 2{,}5\% em cada cauda, e o quantil correspondente é 1{,}96.

Passo 6

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=z_{0{,}975}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot 1{,}078\approx 2{,}11288\approx 2{,}113.
Pequena verificação mental: 1{,}078\cdot 2\approx 2{,}156, ajustando pelo fato que 1{,}96=2-0{,}04 chega-se ao mesmo valor aproximado.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}= \bar{x}-\text{margem}=100-2{,}11288\approx 97{,}88712\approx 97{,}89,
\text{limite superior}= \bar{x}+\text{margem}=100+2{,}11288\approx 102{,}11288\approx 102{,}11.
Arredondei para duas casas decimais; em provas normalmente se pede 2 casas ou 1 casa — fique atento às instruções do professor.

Passo 8

Interpretação (para fixar a ideia): dizer que o intervalo de confiança de 95\% é (97{,}89;\,102{,}11) significa que, se repetíssemos o mesmo procedimento muitas vezes com amostras do mesmo tamanho, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Não é correto dizer que há 95\% de probabilidade da média estar nesse intervalo numa visão bayesiana; aqui a interpretação é frequencista como expliquei — mas, no dia da prova, basta dizer que estamos 95\% confiantes de que a média populacional está nesse intervalo.

Resposta

IC_{95\%}=(97{,}89;\,102{,}11)

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