Questāo 2(3,0). Sejam \vec{v}=(1,3,4), \vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{w}=(0,1,2), determine:
( \vec{v}, \vec{u}, \vec{w} ) (Produto Misto)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec v=(1,3,4), \vec u=(-1,-1,0) e \vec w=(0,1,2).
Pede-se o produto misto (\vec v,\vec u,\vec w), que por definição é
(\vec v,\vec u,\vec w)=\vec v\cdot(\vec u\times\vec w).

Passo 2

Vamos calcular primeiro o vetor \vec u\times\vec w usando a regra de Sarrus (determinante 3\times 3):
\vec u\times\vec w =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&-1&0\\\\ 0&1&2 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo:
\vec u\times\vec w =\mathbf{i}\bigl((-1)\cdot2-0\cdot1\bigr) -\mathbf{j}\bigl((-1)\cdot2-0\cdot0\bigr) +\mathbf{k}\bigl((-1)\cdot1-(-1)\cdot0\bigr)
=\mathbf{i}(-2)-\mathbf{j}(-2)+\mathbf{k}(-1) =(-2,\,2,\,-1).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec v com \vec u\times\vec w:
\vec v\cdot(\vec u\times\vec w) =(1,\,3,\,4)\cdot(-2,\,2,\,-1) =1\cdot(-2)+3\cdot2+4\cdot(-1) =-2+6-4=0.

Resposta

O produto misto é 0.

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