(2) Pontos) Considere um baralho com 52 cartas e sejam os eventos \mathrm{A}= ser de copas, \mathrm{B}= ser de uma figura e \mathrm{C}= ser de espada. Então, determine a probabilidade de:
A. \mathrm{P}(\mathrm{A}), \mathrm{P}(\mathrm{B}), \mathrm{P}\left(A^{c}\right) e \mathrm{P}\left(B^{c}\right). Resposta: \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,25 ; \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,308 ; \mathrm{P}\left(A^{c}\right)=0, 75 ; \mathrm{P}(\mathrm{Bc})=0,692
B. P(A \cup B). Resposta: P(A \cup B)=0,481
C. P(A \cap B). Resposta: P(A \cap B)=0,077
D. A e C são mutuamente exclusivos? Resposta: sim

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tirei estes dados do enunciado).
  • Baralho com 52 cartas (todas igualmente prováveis).
  • Evento \mathrm{A}: a carta é de copas (ou seja, naipes de copas).
  • Evento \mathrm{B}: a carta é uma figura (valetes, damas ou reis).
  • Evento \mathrm{C}: a carta é de espada.
O enunciado pede:
A. Calcular \mathrm{P}(\mathrm{A}), \mathrm{P}(\mathrm{B}), \mathrm{P}\left(A^{c}\right) e \mathrm{P}\left(B^{c}\right).
B. Calcular P(A\cup B).
C. Calcular P(A\cap B).
D. Dizer se A e C são mutuamente exclusivos.

Passo 2

Primeiro, o princípio básico de probabilidade discreta que vamos usar: se todas as cartas são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
\mathrm{P}(\text{evento})=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº total de casos}}.ºáº
Aqui o espaço amostral tem tamanho 52. Vou usar esse princípio para contar cartas favoráveis a cada evento.

Passo 3

Contagem do evento \mathrm{A} (ser de copas).
Em um baralho padrão há 13 cartas de cada naipe. Logo o número de cartas de copas é 13. Aplicando a fórmula:
\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0,25.
Explicação curta: dividir o número de copas pelo total de cartas.

Passo 4

Contagem do evento \mathrm{B} (ser figura).
As figuras são: valete, dama e rei; há 3 figuras por naipe e 4 naipes, totalizando 3\cdot4=12 cartas figura. Então
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\approx0,2308.
Observação sobre arredondamento: escrevo o decimal com quatro casas significativas; dependendo da prova pode bastar 0,23.

Passo 5

Complementos: regra do complemento diz que, para qualquer evento E,
\mathrm{P}(E^c)=1-\mathrm{P}(E).
Aplicando a A e B:
\mathrm{P}\left(A^{c}\right)=1-\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-0,25=0,75,
\mathrm{P}\left(B^{c}\right)=1-\mathrm{P}(\mathrm{B})=1-\frac{3}{13}=\frac{10}{13}\approx0,7692.
Explicação: complemento são as cartas que não são do evento.

Passo 6

Interseção \mathrm{A}\cap\mathrm{B} (ser de copas e ser figura ao mesmo tempo).
Temos que contar cartas que são simultaneamente de copas e figura: nas copas há exatamente as três figuras J_{\heartsuit},Q_{\heartsuit},K_{\heartsuit}, ou seja 3 cartas. Então
\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})=\frac{3}{52}\approx0,05769.
Dica prática: interseção conta os elementos comuns aos dois eventos.

Passo 7

União \mathrm{A}\cup\mathrm{B} (ser copas ou ser figura). Usamos a regra da adição geral:
\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B).
Substituindo os valores que já calculamos:
\mathrm{P}(A\cup B)=\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}\approx0,42308.
Comentário: subtrai-se a interseção porque ela foi contada duas vezes ao somar \mathrm{P}(A) e \mathrm{P}(B).

Passo 8

Mutua exclusividade entre A e C.
Definição: dois eventos são mutuamente exclusivos (disjuntos) se não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, se \mathrm{P}(A\cap C)=0.
Aqui A = copas e C = espadas: uma carta não pode ser simultaneamente de copas e de espadas, portanto não há cartas comuns. Logo são mutuamente exclusivos. Resposta: sim.

Passo 9

Resumo numérico (valores exatos e aproximações, para checar durante a prova):
  • \mathrm{P}(\mathrm{A})=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}=0,25.
  • \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}\approx0,2308.
  • \mathrm{P}\left(A^{c}\right)=0,75.
  • \mathrm{P}\left(B^{c}\right)=\dfrac{10}{13}\approx0,7692.
  • \mathrm{P}(A\cap B)=\dfrac{3}{52}\approx0,05769.
  • \mathrm{P}(A\cup B)=\dfrac{22}{52}=\dfrac{11}{26}\approx0,42308.
  • A e C são mutuamente exclusivos: sim.
Força aí — você já tem os passos práticos para fazer rápido esse tipo de questão na prova!

Resposta

A: \mathrm{P}(\mathrm{A})=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}=0,25
A: \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}\approx0,2308
A: \mathrm{P}\left(A^{c}\right)=0,75
A: \mathrm{P}\left(B^{c}\right)=\dfrac{10}{13}\approx0,7692
B: \mathrm{P}(A\cup B)=\dfrac{22}{52}=\dfrac{11}{26}\approx0,42308
C: \mathrm{P}(A\cap B)=\dfrac{3}{52}\approx0,05769
D: Sim

Exercícios relacionados