(2 pontos) Verifique que a transformação linear
que rotaciona um vetor
em um ângulo
no sentido anti-horário é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado define
que leva cada vetor
à sua rotação de ângulo
no sentido anti-horário. O que queremos provar é que
satisfaz as propriedades de linearidade:
Para isso, vamos usar a fórmula conhecida da rotação em
.
Passo 2
A rotação de
por
no sentido anti-horário é dada por
Note que podemos ver
como multiplicação por matriz
isto é,
.]
Passo 3
Verificação da aditividade. Sejam
e
. Então
logo
Separando termos, isso equivale a
que é exatamente
.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Para
e
, tem-se
logo
Passo 5
Como
satisfaz
e
para todos
e
, conclui-se que
é transformação linear.
Resposta
A transformação
que gira vetores em
por
é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade conforme mostrado acima.