(2 pontos) Verifique que a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que rotaciona um vetor v=(x, y) em um ângulo \theta no sentido anti-horário é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que leva cada vetor v=(x,y) à sua rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário. O que queremos provar é que T satisfaz as propriedades de linearidade:
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(\alpha v)=\alpha\,T(v).
Para isso, vamos usar a fórmula conhecida da rotação em \mathbb{R}^2.

Passo 2

A rotação de (x,y) por \theta no sentido anti-horário é dada por
T(x,y)=\bigl(x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta\bigr).
Note que podemos ver T como multiplicação por matriz
R = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[6pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
isto é, T(v)=R\,v.]

Passo 3

Verificação da aditividade. Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
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T(u+v)=\bigl((x_1+x_2)\cos\theta-(y_1+y_2)\sin\theta,\,(x_1+x_2)\sin\theta+(y_1+y_2)\cos\theta\bigr).
Separando termos, isso equivale a
\bigl(x_1\cos\theta-y_1\sin\theta,\;x_1\sin\theta+y_1\cos\theta\bigr) + \bigl(x_2\cos\theta-y_2\sin\theta,\;x_2\sin\theta+y_2\cos\theta\bigr)
que é exatamente T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e v=(x,y), tem-se
\alpha v=(\alpha x,\alpha y),
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T(\alpha v) =\bigl(\alpha x\cos\theta-\alpha y\sin\theta,\;\alpha x\sin\theta+\alpha y\cos\theta\bigr) =\alpha\,(x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta) =\alpha\,T(v).

Passo 5

Como T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha v)=\alpha\,T(v) para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}, conclui-se que T é transformação linear.

Resposta

A transformação T que gira vetores em \mathbb{R}^2 por \theta é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade conforme mostrado acima.

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