1. (2 pontos) Considere um cilindro maciço de raio a condutor e muito longo. O cilindro apresenta uma densidade superficial de carga \sigma. Determine:
    (a) O potencial elétrico para todo o espaço (d \leq a e d>a). (É adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?);
    (b) Se uma partícula de carga q e massa m é solta num ponto P que dista inicialmente d do centro da esfera ( d>a ), determine a velocidade para r \rightarrow \infty.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um cilindro maciço, condutor, muito longo, de raio a.
    • Há uma densidade superficial de carga no cilindro igual a \sigma (unidade \mathrm{C/m^2}).
    • Para a parte (b): uma partícula de carga q e massa m é solta, a partir do repouso, num ponto P que dista d do eixo do cilindro, com d>a.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o potencial elétrico para todo o espaço: para d\le a (ou seja, r\le a) e para d>a (ou seja, r>a). Pergunta adicional: é adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?
    (b) Se a partícula é solta em r=d> a, determinar a velocidade quando r\rightarrow\infty.

Passo 2

Intuição e escolha do método (sem cálculos ainda).
  • O cilindro é “muito longo” e condutor: isso implica simetria cilíndrica e que as cargas em equilíbrio estão na superfície lateral do cilindro (não há campo elétrico no interior do condutor).
  • Para achar o campo elétrico usarei a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial.
  • Depois, o potencial será obtido integrando o campo radial. Vou explicar o que significa escolher a referência do potencial e por que a escolha V(\infty)=0 pode ser problemática aqui.
  • Para a parte (b) aplicarei conservação da energia mecânica (energia potencial elétrica + energia cinética), usando o potencial calculado.

Passo 3

Determinar a carga por unidade de comprimento (densidade linear \lambda) a partir da densidade superficial \sigma.
  • Considere um trecho de cilindro de comprimento L. A carga total nesse trecho, por definição de \sigma, é
Q = \sigma \times (\text{área lateral}) = \sigma \cdot (2\pi a L).á
  • A densidade de carga linear (carga por comprimento) é, portanto,
\lambda = \frac{Q}{L} = \sigma \cdot 2\pi a.
  • Esse \lambda será usado na aplicação da Lei de Gauss.

Passo 4

Calcular o campo elétrico \mathbf{E}(r) (magnitude e dependência com r) usando Gauss.
  • Pela simetria cilíndrica, \mathbf{E} é radial e depende só de r (a distância ao eixo).
  • Escolha uma superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio r e comprimento L.
  • Fluxo elétrico pela superfície lateral: \Phi = E(r)\cdot(2\pi r L). As tampas contribuem zero porque \mathbf{E} é radial.
  • Carga encaixada: Q_{\text{enc}}=\lambda L = \sigma 2\pi a L.
  • Lei de Gauss: \Phi = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}. Assim
E(r)\,2\pi r L = \frac{\sigma 2\pi a L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando 2\pi L,
E(r) = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r},\qquad \text{para } r>a.
  • Para r<a (dentro do material condutor em equilíbrio eletrostático) vale
E(r)=0,\qquad \text{para } r\le a.
  • Direção: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r} se \sigma e a carga q tiverem sinal tal que o campo seja para fora; no nosso cálculo E(r) acima tem módulo positivo; o sentido é radial para fora se \sigma>0, radial para dentro se \sigma<0.

Passo 5

Conceito de potencial elétrico e referência; por que V(\infty)=0 não é adequado aqui.
  • O potencial elétrico é definido (até uma constante) por
V(r) - V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
  • Para uma distribuição de carga infinita (linha/cilindro infinito) o campo decai como 1/r, e a integral \int E\,dr gera termos do tipo \ln r. O log diverge quando r\to\infty. Assim V(\infty) não é finito: escolher V(\infty)=0 seria forçar um valor que não existe (a diferença de potencial entre um ponto finito e o infinito é infinita).
  • Conclusão: NÃO é adequado tomar V(\infty)=0 neste problema. Devemos escolher outra referência finita, tipicamente V(a)=0 (potencial na superfície do condutor) ou V(r_0)=0 em algum r_0 finito. É convencional e conveniente aqui escolher V(a)=0, porque no condutor o potencial é constante e igual ao valor na superfície.

Passo 6

Calcular o potencial para r\ge a definindo V(a)=0.
  • Começo de r=a (onde escolhemos V(a)=0) até um r>a:
V(r)-V(a) = -\int_{a}^{r} E(r')\,dr'.
  • Substituindo E(r') = \dfrac{\sigma a}{\varepsilon_0}\dfrac{1}{r'},
V(r)-0 = -\frac{\sigma a}{\varepsilon_0}\int_{a}^{r}\frac{dr'}{r'} = -\frac{\sigma a}{\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right).
  • Portanto, com a nossa referência V(a)=0,
V(r) = -\frac{\sigma a}{\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right),\qquad r\ge a.

Passo 7

Calcular o potencial para r\le a (interior do condutor).
  • Num condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior é zero, logo o potencial é constante em todo o interior e igual ao valor na superfície.
  • Como escolhemos V(a)=0, segue que
V(r) = 0,\qquad r\le a.
  • Assim temos a expressão completa do potencial (na convenção V(a)=0):
V(r)=\begin{cases} 0, & r\le a,\\[4pt] -\dfrac{\sigma a}{\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), & r\ge a. \end{cases}]

Passo 8

Resolver a parte (b): conservação de energia e comportamento quando r\to\infty.
  • Energia mecânica: E_{\text{mec}}= energia cinética + energia potencial elétrica. Para a partícula solta do repouso em r=d temos K_i=0 e U_i=qV(d).
  • Se tentarmos usar conservação da energia entre r=d e r\to\infty,
\frac12 m v^2(\infty) = q\bigl(V(d)-V(\infty)\bigr).
  • Mas já vimos que V(\infty) não é finito: a expressão para V(r) para r\ge a tem -(\sigma a/\varepsilon_0)\ln(r/a), que tende a -\infty quando r\to\infty. Então V(\infty)=-\infty.
  • Consequências físicas, dependendo do sinal de q\sigma:
    • Se q\sigma>0 (partícula e superfície têm mesmo sinal): a força é repulsiva e a partícula é acelerada para fora. Como V(\infty)=-\infty, a diferença V(d)-V(\infty)=+\infty, logo a energia cinética adquirida tende a +\infty. Portanto a velocidade teoricamente diverge: v(\infty)\to\infty (resultado não físico, sinal de que o modelo cilindro-infinito é idealizado).
    • Se q\sigma<0 (sinais opostos): a força é atrativa para o cilindro e a partícula é atraída para o interior; nesse caso a partícula não vai para r\to\infty, então a pergunta sobre a velocidade quando r\to\infty não é aplicável.
    • Se q=0 trivialmente v=0.
  • Conclusão prática: para o cilindro infinito não existe um valor finito de v(\infty) quando a partícula é repelida; a velocidade cresce sem limite segundo o modelo clássico ideal. Isso reflete que usar um corpo de carga infinita gera potenciais divergentes; em situações reais com corpo de comprimento finito ou presença de outros condutores, o ganho de energia e a velocidade seriam finitos.

Passo 9

Resumo didático final (como aplicar isso na prova).
  • Para obter o campo de um cilindro condutor longo, use Gauss: escolha um cilindro gaussiano coaxial; calcule a carga encerrada e equacione o fluxo.
  • Lembre-se: em condutor, campo interno é zero e potencial é constante no interior (útil para escolher referência).
  • Para potencial, integre -\int E \,dr com referência em algum r_0 finito; evite escolher infinito quando a distribuição for infinita (linha/cilindro infinito).
  • Para usar conservação de energia, sempre cheque se as energias potenciais envolvidas são finitas; se não forem, o resultado pode ser não físico (divergente) e deve-se comentar isso.

Resposta

(a) V(r)=\begin{cases} 0, & r\le a,\\[6pt] -\dfrac{\sigma a}{\varepsilon_0}\displaystyle\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), & r\ge a, \end{cases}
Não é adequado considerar V(\infty)=0 porque para o cilindro infinito V(r) diverge logaritmicamente quando r\to\infty.
(b) Não existe uma velocidade finita bem definida em r\to\infty dentro deste modelo: se q\sigma>0 (repulsão) a energia cinética cresce sem limite e v(\infty)\to\infty; se q\sigma<0 a partícula é atraída para o cilindro e não alcança r\to\infty.]

Exercícios relacionados