(2 pontos) Considere um cilindro maciço de raio a condutor e muito longo. O cilindro apresenta uma densidade superficial de carga \sigma. Determine:
(a) O potencial elétrico para todo o espaço (d \leq a e d>a). (É adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?);
(b) Se uma partícula de carga q e massa m é solta num ponto P que dista inicialmente d do centro da esfera ( d>a ), determine a velocidade para r \rightarrow \infty.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Um cilindro maciço, condutor, muito longo, de raio a.
Há uma densidade superficial de carga no cilindro igual a \sigma (unidade \mathrm{C/m^2}).
Para a parte (b): uma partícula de carga q e massa m é solta, a partir do repouso, num ponto P que dista d do eixo do cilindro, com d>a.
Perguntas:
(a) Determinar o potencial elétrico para todo o espaço: para d\le a (ou seja, r\le a) e para d>a (ou seja, r>a). Pergunta adicional: é adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?
(b) Se a partícula é solta em r=d> a, determinar a velocidade quando r\rightarrow\infty.
Passo 2
Intuição e escolha do método (sem cálculos ainda).
O cilindro é “muito longo” e condutor: isso implica simetria cilíndrica e que as cargas em equilíbrio estão na superfície lateral do cilindro (não há campo elétrico no interior do condutor).
Para achar o campo elétrico usarei a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial.
Depois, o potencial será obtido integrando o campo radial. Vou explicar o que significa escolher a referência do potencial e por que a escolha V(\infty)=0 pode ser problemática aqui.
Para a parte (b) aplicarei conservação da energia mecânica (energia potencial elétrica + energia cinética), usando o potencial calculado.
Passo 3
Determinar a carga por unidade de comprimento (densidade linear \lambda) a partir da densidade superficial \sigma.
Considere um trecho de cilindro de comprimento L. A carga total nesse trecho, por definição de \sigma, é
Para r<a (dentro do material condutor em equilíbrio eletrostático) vale
E(r)=0,\qquad \text{para } r\le a.
Direção: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r} se \sigma e a carga q tiverem sinal tal que o campo seja para fora; no nosso cálculo E(r) acima tem módulo positivo; o sentido é radial para fora se \sigma>0, radial para dentro se \sigma<0.
Passo 5
Conceito de potencial elétrico e referência; por que V(\infty)=0 não é adequado aqui.
O potencial elétrico é definido (até uma constante) por
Para uma distribuição de carga infinita (linha/cilindro infinito) o campo decai como 1/r, e a integral \int E\,dr gera termos do tipo \ln r. O log diverge quando r\to\infty. Assim V(\infty) não é finito: escolher V(\infty)=0 seria forçar um valor que não existe (a diferença de potencial entre um ponto finito e o infinito é infinita).
Conclusão: NÃO é adequado tomar V(\infty)=0 neste problema. Devemos escolher outra referência finita, tipicamente V(a)=0 (potencial na superfície do condutor) ou V(r_0)=0 em algum r_0 finito. É convencional e conveniente aqui escolher V(a)=0, porque no condutor o potencial é constante e igual ao valor na superfície.
Passo 6
Calcular o potencial para r\ge a definindo V(a)=0.
Começo de r=a (onde escolhemos V(a)=0) até um r>a:
V(r) = -\frac{\sigma a}{\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right),\qquad r\ge a.
Passo 7
Calcular o potencial para r\le a (interior do condutor).
Num condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior é zero, logo o potencial é constante em todo o interior e igual ao valor na superfície.
Como escolhemos V(a)=0, segue que
V(r) = 0,\qquad r\le a.
Assim temos a expressão completa do potencial (na convenção V(a)=0):
Resolver a parte (b): conservação de energia e comportamento quando r\to\infty.
Energia mecânica: E_{\text{mec}}= energia cinética + energia potencial elétrica. Para a partícula solta do repouso em r=d temos K_i=0 e U_i=qV(d).
Se tentarmos usar conservação da energia entre r=d e r\to\infty,
\frac12 m v^2(\infty) = q\bigl(V(d)-V(\infty)\bigr).
Mas já vimos que V(\infty) não é finito: a expressão para V(r) para r\ge a tem -(\sigma a/\varepsilon_0)\ln(r/a), que tende a -\infty quando r\to\infty. Então V(\infty)=-\infty.
Consequências físicas, dependendo do sinal de q\sigma:
Se q\sigma>0 (partícula e superfície têm mesmo sinal): a força é repulsiva e a partícula é acelerada para fora. Como V(\infty)=-\infty, a diferença V(d)-V(\infty)=+\infty, logo a energia cinética adquirida tende a +\infty. Portanto a velocidade teoricamente diverge: v(\infty)\to\infty (resultado não físico, sinal de que o modelo cilindro-infinito é idealizado).
Se q\sigma<0 (sinais opostos): a força é atrativa para o cilindro e a partícula é atraída para o interior; nesse caso a partícula não vai para r\to\infty, então a pergunta sobre a velocidade quando r\to\infty não é aplicável.
Se q=0 trivialmente v=0.
Conclusão prática: para o cilindro infinito não existe um valor finito de v(\infty) quando a partícula é repelida; a velocidade cresce sem limite segundo o modelo clássico ideal. Isso reflete que usar um corpo de carga infinita gera potenciais divergentes; em situações reais com corpo de comprimento finito ou presença de outros condutores, o ganho de energia e a velocidade seriam finitos.
Passo 9
Resumo didático final (como aplicar isso na prova).
Para obter o campo de um cilindro condutor longo, use Gauss: escolha um cilindro gaussiano coaxial; calcule a carga encerrada e equacione o fluxo.
Lembre-se: em condutor, campo interno é zero e potencial é constante no interior (útil para escolher referência).
Para potencial, integre -\int E \,dr com referência em algum r_0 finito; evite escolher infinito quando a distribuição for infinita (linha/cilindro infinito).
Para usar conservação de energia, sempre cheque se as energias potenciais envolvidas são finitas; se não forem, o resultado pode ser não físico (divergente) e deve-se comentar isso.
Não é adequado considerar V(\infty)=0 porque para o cilindro infinito V(r) diverge logaritmicamente quando r\to\infty.
(b) Não existe uma velocidade finita bem definida em r\to\infty dentro deste modelo: se q\sigma>0 (repulsão) a energia cinética cresce sem limite e v(\infty)\to\infty; se q\sigma<0 a partícula é atraída para o cilindro e não alcança r\to\infty.]