1- ( 2,5 pontos) Um próton se move um uma órbita circular de 14 cm de raio, em um campo magnético uniforme de magnitude 0,35 \mathrm{~T}, cuja orientação é perpendicular à velocidade do próton.
(a) Determine a magnitude da velocidade do próton.
(b) Se um elétron se move perpendicularmente a este mesmo campo, com uma velocidade de mesma magnitude que a do próton, qual será o raio de sua órbita circular?

Passo 1

O enunciado diz que um próton (carga de mesma magnitude de um elétron, porém positiva) descreve uma órbita circular de raio 0,14\\ \mathrm{m} em um campo magnético uniforme de módulo 0,35\\ \mathrm{T}, com a velocidade sempre perpendicular a \mathbf{B}.
(a) Pede-se a velocidade desse próton.
(b) Em seguida, um elétron move-se perpendicularmente ao mesmo campo com essa mesma velocidade e queremos o raio de sua órbita.

Passo 2

Quando uma carga q move-se com velocidade v perpendicular a um campo magnético \mathbf{B}, ela sofre força magnética de módulo
F_{\mathrm{m}} = \lvert q\rvert \, v \, B.
No caso de órbita circular, essa força faz o papel de força centrípeta
F_{\mathrm{c}} = \frac{m \, v^{2}}{r}.
Igualando F_{\mathrm{m}} = F_{\mathrm{c}} obtemos
v = \frac{\lvert q\rvert \, B \, r}{m}.

Passo 3

Para o próton usamos \lvert q\rvert = 1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, m_{p}=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, B=0{,}35\\ \mathrm{T} e r=0{,}14\\ \mathrm{m}. Logo,
v = \frac{(1{,}6\times10^{-19})(0{,}35)(0{,}14)}{1{,}67\times10^{-27}} \approx 4,7\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para o elétron, a velocidade é a mesma v\approx4,7\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}, mas a massa difere: m_{e}=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. O raio r_{e} satisfaz
r_{e} = \frac{m_{e}\,v}{\lvert q\rvert\,B}.
Substituindo,
r_{e} = \frac{(9{,}11\times10^{-31})(4,7\times10^{6})} {(1{,}6\times10^{-19})(0{,}35)} \approx 7,6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \;v \approx 4,7\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
(b) \;r_{e} \approx 7,6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

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