1. (2,0 pontos) Sejam os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \mathrm{e} \quad W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & z \end{array}\right] .
(a) ( 0,8 ponto) Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogonais.
(b) ( 0,8 ponto) Os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Explique.
(c) ( 0,4 ponto) Encontre o vetor unitário correspondente a \tilde{\boldsymbol{u}}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1)
e três matrizes com incógnitas
U=\begin{pmatrix}x&1&2\\\ 0&3&1\\\ 2&1&0\end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 0&y&1\\\ 1&3&2\end{pmatrix},\quad W=\begin{pmatrix}2&1&2\\\ 1&3&1\\\ 2&0&z\end{pmatrix}.
Em (a) precisamos achar x,y,z tais que \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v}, \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} sejam mutuamente ortogonais. Em (b) verificar se esses vetores formam base de \mathbb{R}^3. Em (c) calcular o vetor unitário na direção de \tilde{\boldsymbol{u}}.

Passo 2

Calculemos primeiro \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}:
\tilde{\boldsymbol{u}} =\begin{pmatrix}x&1&2\\\ 0&3&1\\\ 2&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\cdot1+1\cdot0+2\cdot(-2)\\\ 0\cdot1+3\cdot0+1\cdot(-2)\\\ 2\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x-4\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix}.
Para \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v}:
\tilde{\boldsymbol{v}} =\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 0&y&1\\\ 1&3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3+2\\\ 0+3y+1\\\ 1+9+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ 3y+1\\\ 12\end{pmatrix}.
E para \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w}:
\tilde{\boldsymbol{w}} =\begin{pmatrix}2&1&2\\\ 1&3&1\\\ 2&0&z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2+1+2\\\ -1+3+1\\\ -2+0+z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 3\z-2\end{pmatrix}.

Passo 3

Impor as três ortogonalidades:
\tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\tilde{\boldsymbol{v}}=0,\quad \tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\tilde{\boldsymbol{w}}=0,\quad \tilde{\boldsymbol{v}}\cdot\tilde{\boldsymbol{w}}=0.
Isso gera
6(x-4)+(-2)(3y+1)+2\cdot12=0 \;\Longrightarrow\;6x-6y-2=0,
(x-4)\cdot1+(-2)\cdot3+2\,(z-2)=0 \;\Longrightarrow\;x+2z-14=0,
6\cdot1+(3y+1)\cdot3+12\,(z-2)=0 \;\Longrightarrow\;9y+12z-15=0.
Simplificando, obtemos o sistema
\begin{cases} x-y=\tfrac13,\\\ x+2z=14,\\\\ 3y+4z=5. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem y=x-\tfrac13. Substituindo na terceira:
3\bigl(x-\tfrac13\bigr)+4z=5 \;\Longrightarrow\;3x-1+4z=5 \;\Longrightarrow\;3x+4z=6.
Multiplicando a equação x+2z=14 por 3 dá 3x+6z=42. Subtraindo 3x+6z=42 de 3x+4z=6 resulta em 2z=36, logo
z=18,\quad x+2\cdot18=14\;\Longrightarrow\;x=-22,\quad y=x-\tfrac13=-22-\tfrac13=-\tfrac{67}{3}.

Passo 5

Como \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} são três vetores não nulos e mutuamente ortogonais em \mathbb{R}^3, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 6

O vetor \tilde{\boldsymbol{u}}=(-26,-2,2)
tem norma
\|\tilde{\boldsymbol{u}}\| =\sqrt{(-26)^2+(-2)^2+2^2} =\sqrt{676+4+4} =\sqrt{684} =2\sqrt{171}.
O vetor unitário na direção de \tilde{\boldsymbol{u}} é
\frac{\tilde{\boldsymbol{u}}}{\|\tilde{\boldsymbol{u}}\|} =\frac{1}{2\sqrt{171}}(-26,-2,2) =\Bigl(-\tfrac{13}{\sqrt{171}},-\tfrac{1}{\sqrt{171}},\tfrac{1}{\sqrt{171}}\Bigr).

Resposta

(a) x=-22, y=-\tfrac{67}{3}, z=18.
(b) Sim. Vetores não nulos e ortogonais em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes, logo formam base.
(c) \displaystyle \bigl(-\tfrac{13}{\sqrt{171}},-\tfrac{1}{\sqrt{171}},\tfrac{1}{\sqrt{171}}\bigr).

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