(a) ( 0,8 ponto) Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogonais.
(b) ( 0,8 ponto) Os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Explique.
(c) ( 0,4 ponto) Encontre o vetor unitário correspondente a \tilde{\boldsymbol{u}}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1)
e três matrizes com incógnitas
Em (a) precisamos achar x,y,z tais que \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v}, \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} sejam mutuamente ortogonais. Em (b) verificar se esses vetores formam base de \mathbb{R}^3. Em (c) calcular o vetor unitário na direção de \tilde{\boldsymbol{u}}.
Passo 2
Calculemos primeiro \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}:
Como \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} são três vetores não nulos e mutuamente ortogonais em \mathbb{R}^3, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.
Passo 6
O vetor \tilde{\boldsymbol{u}}=(-26,-2,2)
tem norma
(a) x=-22, y=-\tfrac{67}{3}, z=18.
(b) Sim. Vetores não nulos e ortogonais em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes, logo formam base.
(c) \displaystyle \bigl(-\tfrac{13}{\sqrt{171}},-\tfrac{1}{\sqrt{171}},\tfrac{1}{\sqrt{171}}\bigr).