(1.5 pontos)Considere que uma distribuição de corrente gera em todo o espaço, com permeabilidade magnética
um vetor de campo magnético expresso em coordenadas cilíndricas, dado por:
em que I (Ampere) e a (metro) são parâmetro fixos.
b. (0.5 ponto) Determine a corrente total envolvida por uma circunferência de raio a, contida no plano z
e com centro na origem. Em que sentido flui essa corrente?
b. (0.5 ponto) Determine a corrente total envolvida por uma circunferência de raio a, contida no plano z
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético
dado em coordenadas cilíndricas e queremos descobrir qual é a corrente total que está passando por uma circunferência de raio
no plano
e no centro da origem. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao total de corrente que passa através de um caminho fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère. Ela diz que a circulação do campo magnético
ao redor de um caminho fechado é igual à corrente total
que passa por esse caminho. Matematicamente, fica assim:
Aqui,
representa a integral de linha de
ao longo do caminho fechado.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa situação. Queremos calcular a circulação de
ao redor da circunferência de raio
. Na coordenada cilíndrica, o elemento de caminho
ao longo da circunferência é:
Onde
é o raio fixo,
é o ângulo diferencial, e
é o vetor unitário na direção azimutal.
Passo 4
O campo magnético
dado é:
Na circunferência de raio
,
, então podemos substituir:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Note que
.
Passo 6
Agora, integramos de
a
para percorrer toda a circunferência:
Passo 7
De acordo com a Lei de Ampère:
Resposta
A corrente total envolvida pela circunferência de raio
é
e ela flui na direção determinada pelo sentido do campo magnético
, ou seja, na direção
.