(1.5 pontos)Considere que uma distribuição de corrente gera em todo o espaço, com permeabilidade magnética mu0 um vetor de campo magnético expresso em coordenadas cilíndricas, dado por:
H^square= ^I rho a^2 e^-(ea) aphi
em que I (Ampere) e a (metro) são parâmetro fixos.
b. (0.5 ponto) Determine a corrente total envolvida por uma circunferência de raio a, contida no plano z =0 e com centro na origem. Em que sentido flui essa corrente?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético H dado em coordenadas cilíndricas e queremos descobrir qual é a corrente total que está passando por uma circunferência de raio a no plano z = 0 e no centro da origem. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao total de corrente que passa através de um caminho fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère. Ela diz que a circulação do campo magnético H ao redor de um caminho fechado é igual à corrente total Itotal que passa por esse caminho. Matematicamente, fica assim:
oint H cdot dl = Itotal
Aqui, oint H cdot dl representa a integral de linha de H ao longo do caminho fechado.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa situação. Queremos calcular a circulação de H ao redor da circunferência de raio a. Na coordenada cilíndrica, o elemento de caminho dl ao longo da circunferência é:
dl = a , dphi , aphi
Onde a é o raio fixo, dphi é o ângulo diferencial, e aphi é o vetor unitário na direção azimutal.

Passo 4

O campo magnético H dado é:
H = I rho a^2 e^-ea aphi
Na circunferência de raio a, rho = a, então podemos substituir:
H = I a a^2 e^-ea aphi = I a^3 e^-ea aphi

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar H cdot dl:
H cdot dl = (I a^3 e^-ea aphi) cdot (a , dphi , aphi) = I a^4 e^-ea dphi
Note que aphi cdot aphi = 1.

Passo 6

Agora, integramos de 0 a 2pi para percorrer toda a circunferência:
oint H cdot dl = integral0^2pi I a^4 e^-ea dphi = I a^4 e^-ea integral0^2pi dphi = I a^4 e^-ea cdot 2pi

Passo 7

De acordo com a Lei de Ampère:
Itotal = oint H cdot dl = 2pi I a^4 e^-ea

Resposta

A corrente total envolvida pela circunferência de raio a é Itotal = 2pi I a^4 e^-ea e ela flui na direção determinada pelo sentido do campo magnético H, ou seja, na direção aphi.

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