(2,5 pontos) Considere o experimento de lançar uma moeda três vezes, e seja a variável aleatória X o número de caras. Os possíveis valores de X são 0,1,2,3, com probabilidades 1 / 8,3 / 8,3 / 8 e 1 / 8, respectivamente. Calcule a variância de X.
(a) 1,5
(b) 0,75 .
(c) 0,85
(d) 1,6

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de lançar uma moeda três vezes e define a variável aleatória X como o número de caras obtidas. Os valores possíveis são
Xin0,1,2,3,
com probabilidades
P(X=0)=tfrac18, P(X=1)=tfrac38, P(X=2)=tfrac38, P(X=3)=tfrac18
O conteúdo aqui é variância de variável aleatória discreta, usando a fórmula
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2

Passo 2

Calcular E[X]. Por definição,
E[X]=sumx=0^3x,P(X=x) =;0cdottfrac18+1cdottfrac38+2cdottfrac38+3cdottfrac18 =tfrac0+3+6+38 =tfrac128 =1,5

Passo 3

Calcular E[X^2]. Por definição,
E[X^2] =sumx=0^3x^2,P(X=x) =;0^2cdottfrac18+1^2cdottfrac38+2^2cdottfrac38+3^2cdottfrac18 =tfrac0+3+12+98 =tfrac248 =3

Passo 4

Aplicar a fórmula da variância:
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 =3-(1,5)^2 =3-2,25 =0,75

Passo 5

Comparando com as alternativas, o valor da variância é 0,75, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 0,75

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