- ( 4,0 pontos) Considere uma firma
que atua em um determinado mercado tendo como concorrente a firma
. A demanda pelo produto da firma
é dada por
, onde
representao gasto com marketing da firma
denotao preço da firma
e
denotao preço da firma
. O custo de produção da firma
é
. Assim, a função lucro da firma
é dada por:
A firma
escolhe o seu gasto com marketing e o seu preço de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações, responda o seguinte:
(a) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma
.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma
.
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma
sobre
e
.
(a) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma
Passo 1
O problema trata de uma firma A que escolhe simultaneamente o gasto em marketing
e o preço
para maximizar
onde
é dado. Vamos precisar de cálculo de derivadas parciais para obter as condições de primeira ordem, verificar o sinal da matriz Hessiana para as condições de segunda ordem e, por fim, usar diferenciação implícita para ver como
e
reagem a uma variação em
.
Passo 2
Derivamos em relação a
e
e igualamos a zero.
Derivada em
:
Derivada em
:
Passo 3
Calculamos as segundas derivadas:
A condição de máximo exige Hessiana definida negativa, ou seja
Passo 4
Usamos as duas FOCs em forma implícita para estudar o efeito de
. Da primeira FOC vem
Substituindo na segunda FOC
dá
Diferenciando implicitamente em relação a
:
Como
, tem-se
positivo sempre que
(que coincide com a condição de segundo ordem).
Resposta
(a)
(b)
(c)
ambos positivos quando
.