1. ( 4,0 pontos) Considere uma firma A que atua em um determinado mercado tendo como concorrente a firma B. A demanda pelo produto da firma A é dada por q_{A}=\ln (m)-p_{A}+p_{B}, onde m representao gasto com marketing da firma A, p_{A} denotao preço da firma A e p_{B} denotao preço da firma B. O custo de produção da firma A é C_{A}\left(q_{A}\right)=c q_{A}. Assim, a função lucro da firma A é dada por:
\pi_{A}\left(m, p_{A} ; p_{B}\right)=\left[\ln (m)-p_{A}+p_{B}\right]\left(p_{A}-c\right)-m .
A firma A escolhe o seu gasto com marketing e o seu preço de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações, responda o seguinte:
(a) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma A.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma A.
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma B sobre m e p_{A}.

Passo 1

O problema trata de uma firma A que escolhe simultaneamente o gasto em marketing m e o preço p_{A} para maximizar
\pi_{A}(m,p_{A};p_{B}) = \bigl[\ln(m)-p_{A}+p_{B}\bigr]\,(p_{A}-c)\;-\;m,
onde p_{B} é dado. Vamos precisar de cálculo de derivadas parciais para obter as condições de primeira ordem, verificar o sinal da matriz Hessiana para as condições de segunda ordem e, por fim, usar diferenciação implícita para ver como m e p_{A} reagem a uma variação em p_{B}.

Passo 2

Derivamos em relação a m e p_{A} e igualamos a zero.
Derivada em m:
\frac{\partial\pi_{A}}{\partial m} = \frac{1}{m}\,(p_{A}-c)\;-\;1 \;\overset{!}{=}\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_{A}-c}{m}=1 \quad\Longrightarrow\quad m = p_{A}-c.
Derivada em p_{A}:
\frac{\partial\pi_{A}}{\partial p_{A}} = \bigl(-1\bigr)\,(p_{A}-c) \;+\;\bigl[\ln(m)-p_{A}+p_{B}\bigr]\;=\;0
\Longrightarrow\; -\,(p_{A}-c)+\ln(m)-p_{A}+p_{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(m)\;-\;2\,p_{A}\;+\;(p_{B}+c)=0.

Passo 3

Calculamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial m^{2}} = -\,\frac{p_{A}-c}{m^{2}}<0, \qquad \frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial p_{A}^{2}} = -2<0,
\frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial m\,\partial p_{A}} = \frac{1}{m}.
A condição de máximo exige Hessiana definida negativa, ou seja
\det(H) = \Bigl(-\frac{p_{A}-c}{m^{2}}\Bigr)\,(-2)\;-\;\Bigl(\frac{1}{m}\Bigr)^{2} = \frac{2(p_{A}-c)-1}{m^{2}}>0 \;\Longrightarrow\;p_{A}-c>\tfrac12.

Passo 4

Usamos as duas FOCs em forma implícita para estudar o efeito de p_{B}. Da primeira FOC vem
p_{A}=m+c.
Substituindo na segunda FOC \ln(m)-2p_{A}+p_{B}+c=0
\ln(m)-2(m+c)+p_{B}+c=0 \;\Longrightarrow\; \ln(m)-2m+(p_{B}-c)=0.
Diferenciando implicitamente em relação a p_{B}:
\Bigl(\tfrac{1}{m}-2\Bigr)\,\frac{dm}{dp_{B}} \;+\;1=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dm}{dp_{B}} =\frac{1}{2-\tfrac{1}{m}} =\frac{m}{2m-1}.
Como p_{A}=m+c, tem-se
\frac{dp_{A}}{dp_{B}} =\frac{dm}{dp_{B}} =\frac{m}{2m-1},
positivo sempre que m>1/2 (que coincide com a condição de segundo ordem).

Resposta

(a)
\frac{\partial\pi_{A}}{\partial m}=\frac{p_{A}-c}{m}-1=0, \quad \frac{\partial\pi_{A}}{\partial p_{A}}=-\,(p_{A}-c)+\ln(m)-p_{A}+p_{B}=0.
(b)
\frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial m^{2}}=-\frac{p_{A}-c}{m^{2}}<0, \quad \frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial p_{A}^{2}}=-2<0, \quad \det(H)=\frac{2(p_{A}-c)-1}{m^{2}}>0\;\;(\Leftrightarrow p_{A}-c>\tfrac12).
(c)
\frac{dm}{dp_{B}} =\frac{m}{2m-1}, \qquad \frac{dp_{A}}{dp_{B}} =\frac{m}{2m-1},
ambos positivos quando m>1/2.

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