Reduza cada uma das matrizes seguintes à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas.
\left[\begin{array}{rrrrrr}2 & 4 & 2 & -2 & 5 & 1 \\\\ 3 & 6 & 2 & 2 & 0 & 4 \\\\ 4 & 8 & 2 & 6 & -5 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & -2 & 5 & 1\\\\ 3 & 6 & 2 & 2 & 0 & 4\\\\ 4 & 8 & 2 & 6 & -5 & 7 \end{pmatrix}
à forma escalonada (ROW ECH) e depois à forma canônica por linhas (RREF). Vamos usar eliminação de Gauss: escolher pivô, zerar abaixo e depois zerar acima, escalonar e por fim escalar pivôs para 1.

Passo 2

Eliminamos abaixo do pivô a_{11}=2:
R2 ← R2 − \tfrac{3}{2}R1 e R3 ← R3 − 2 R1. Isso produz
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & -2 & 5 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1& 5 & -7,5 & 2,5 \\\\ 0 & 0 & -2& 10 & -15 & 5 \end{pmatrix}.
Já temos a forma escalonada, pois cada linha não nula começa mais à direita que a anterior e há linha de zeros embaixo.

Passo 3

Agora tomamos o segundo pivô em a_{23}=-1. Primeiro escalonamos R2: R2 ← (−1) R2, obtendo pivô 1:
R2 = (0\;0\;1\;-5\;7,5\;-2,5).
Em seguida anulamos a coluna 3 em R1 e R3:
R1 ← R1 − 2 R2,
R3 ← R 3+2 R2.
Fica
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 8 & -10 & 6 \\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 7,5 & -2,5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para chegar à forma canônica por linhas, basta escalar o pivô da primeira linha: R1 ← R1∕2. Assim
R1 = (1\;2\;0\;4\;-5\;3), \quad R2 = (0\;0\;1\;-5\;7,5\;-2,5), \quad R3 = (0\;0\;0\;0\;0\;0).

Resposta

Forma escalonada:
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 8 & -10 & 6 \\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 7,5 & -2,5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Forma canônica por linhas (RREF):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 & -5 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 7,5 & -2,5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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