Seja a \in \mathbb{R} e considere o sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y=2 \\\ y+z=2 \\\ x+y+a z=a+1\end{array}\right..
(a) Encontre todos os valores de a tais que o sistema tenha solução única.
(b) Para os valores de a tais que os sistema naio tem solução única, decida se o sistema tem infinitas soluções ou naio tem soluçio. Justifique?
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z)\):
\[\begin{cases} x + 2y = 2,\\\ y + z = 2,\\\ x + y + a\,z = a + 1, \end{cases}
onde (a\in\mathbb{R}]. O conteúdo envolve determinar existência e unicidade de solução via determinante da matriz dos coeficientes e, no caso degenerado, verificar consistência para ver se há soluções infinitas ou nenhuma.
Passo 2
Vamos escrever a matriz dos coeficientes A e calcular seu determinante:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}.
O determinante de A por expansão na primeira linha é
Pelo Teorema de Cramer, o sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq0. Portanto
a+1\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq -1.
Passo 4
Para a=-1 temos \det(A)=0, então não há solução única. Devemos verificar se o sistema é consistente ou não. Substituindo a=-1 nas equações:
x+2y=2.
y+z=2.
x+y- z=0 (pois a+1=0).
Das duas primeiras equações, obtemos
x=2-2y, \quad z=2-y.
Substituindo essas expressões em x+y-z dá
(2-2y)+y-(2-y)=2-2y+y-2+y=0,
logo a terceira equação é satisfeita automaticamente. Há, portanto, dependência entre as equações e o sistema é consistente com dois graus de liberdade de equações para três incógnitas. Concluímos que, em a=-1, existem infinitas soluções.
Resposta
(a) O sistema tem solução única se, e somente se,
a\neq -1.
(b) Para a=-1, o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções). Não há valor de a que torne o sistema impossível.