( 1 5 , 0 0 pontos) Considere a função
f(t)=e^3 cos (t) sin (3 sin (t)), -pi<t<pi, f(t+2 pi)=f(t)
a) Calcule a série de Fourier de f(t),
b) Calcule
integral-pi^pi e^3 cos (t) sin (3 sin (t)) sin (n t) d t

Passo 1

O enunciado define
f(t)=e^3cos(t)sinl(3sin(t)r), -pi<t<pi, f(t+2pi)=f(t)
Queremos sua série de Fourier real
f(t)=a02+sumn=1^inftyl[ancos(nt)+bnsin(nt)r]
e depois calcular
integral-pi^pif(t)sin(nt),dt
Para isso vamos usar a representação complexa e expansão em série de potências.

Passo 2

Observe que
e^3cos(t)sinl(3sin(t)r) =Iml(e^3cos(t)+i,3sin(t)r) =Iml(e^3e^i tr)

Passo 3

Expandindo em série de Taylor:
e^3e^i t =sumk=0^infty(3e^i t)^kk! =sumk=0^infty3^kk!,e^i k t

Passo 4

Tomando a parte imaginária termo a termo,
f(t) =Iml(sumk=0^infty3^kk!e^ik tr) =sumk=0^infty3^kk!sin(k t)
Como sin(0cdot t)=0, reindexamos a partir de k=1. Logo, na forma real de Fourier,
a0=0, an=0, bn=3^nn!(n>=1),
e portanto
boxedf(t)=sumn=1^infty3^nn!sin(n t)

Passo 5

Para
integral-pi^pif(t)sin(n t),dt
substituímos a série e usamos a ortogonalidade
integral-pi^pisin(m t)sin(n t),dt = 0,&mneq n, pi,&m=nneq0
Logo só sobrevive o termo m=n, e
integral-pi^pif(t)sin(n t),dt =summ=1^infty3^mm! underbraceintegral-pi^pisin(m t)sin(n t),dt=pi,de<amn =pi,3^nn!

Resposta

a) f(t)=sumn=1^infty3^nn!sin(n t)
b) integral-pi^pie^3cos(t)sinl(3sin(t)r)sin(n t),dt =pi,3^nn!

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