Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações fornecidas e objetivo:
- A equação diferencial é
. - O objetivo é encontrar a solução geral
(não foi dada condição inicial).
Passo 2
Identificar um método apropriado (sem avançar na resolução ainda): a equação permite separar as variáveis
e
, porque a parte que contém
(no fator
) pode ser isolada no lado que envolve
e a parte que contém
pode ficar no lado com
. A separação de variáveis consiste em rearranjar a equação para escrever algo da forma
, e então integrar ambos os lados.
Passo 3
Realizar a separação de variáveis passo a passo. Começo com a equação dada:
Multiplico ambos os lados por
e por
para agrupar
com
e
com
:
Agora multiplico por
:
Pronto: as variáveis estão separadas, à esquerda só aparece
e
, à direita só
e
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vou integrar a expressão obtida:
Usando integrais básicas:
-
, porque a derivada de é . -
, pela regra potência.
Juntando os resultados e agrupando as constantes de integração numa só constante
(tomando
), obtemos a forma implícita:
Passo 5
Passar para a forma explícita em
. Como
, podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que isso exige que o lado direito seja positivo para os
considerados). Assim:
onde
é constante arbitrária real e a solução está definida para valores de
tais que
. Observação: se alguém preferir manter a solução na forma implícita, a expressão
também é perfeitamente válida.
Passo 6
Verificação rápida (checagem): derivando a solução explícita para verificar que ela satisfaz a ODE.
Se , então definindo
tem-se
Se
Por outro lado,
portanto as duas expressões coincidem e a solução está correta.
Passo 7
Comentário sobre domínio e constantes: a constante
é arbitrária; a solução explícita exige
. Não existe solução constante não-trivial (uma função constante
não satisfaz a equação para todo
, exceto em casos degenerados em pontos isolados).