Resolva a equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=x e^{-y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
\frac{d y}{d x}=x e^{-y}.
Informações fornecidas e objetivo:
  • A equação diferencial é \dfrac{d y}{d x}=x e^{-y}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (não foi dada condição inicial).

Passo 2

Identificar um método apropriado (sem avançar na resolução ainda): a equação permite separar as variáveis x e y, porque a parte que contém y (no fator e^{-y}) pode ser isolada no lado que envolve dy e a parte que contém x pode ficar no lado com dx. A separação de variáveis consiste em rearranjar a equação para escrever algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, e então integrar ambos os lados.

Passo 3

Realizar a separação de variáveis passo a passo. Começo com a equação dada:
\frac{d y}{d x}=x e^{-y}.
Multiplico ambos os lados por e^{y} e por dx para agrupar y com dy e x com dx:
e^{y}\,\frac{d y}{d x}=x.
Agora multiplico por dx:
e^{y}\,d y = x\,d x.
Pronto: as variáveis estão separadas, à esquerda só aparece y e dy, à direita só x e dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vou integrar a expressão obtida:
\int e^{y}\,d y = \int x\,d x.
Usando integrais básicas:
  • \displaystyle\int e^{y}\,d y = e^{y} + C_{1}, porque a derivada de e^{y} é e^{y}.
  • \displaystyle\int x\,d x = \frac{x^{2}}{2} + C_{2}, pela regra potência.
Juntando os resultados e agrupando as constantes de integração numa só constante C (tomando C=C_{2}-C_{1}), obtemos a forma implícita:
e^{y}=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Passar para a forma explícita em y. Como e^{y}>0, podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que isso exige que o lado direito seja positivo para os x considerados). Assim:
y=\ln\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right),
onde C é constante arbitrária real e a solução está definida para valores de x tais que \dfrac{x^{2}}{2}+C>0. Observação: se alguém preferir manter a solução na forma implícita, a expressão e^{y}=\dfrac{x^{2}}{2}+C também é perfeitamente válida.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): derivando a solução explícita para verificar que ela satisfaz a ODE.
Se \displaystyle y=\ln\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right), então definindo U(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+C tem-se
\frac{d y}{d x}=\frac{U'(x)}{U(x)}=\frac{x}{\dfrac{x^{2}}{2}+C}.
Por outro lado,
x e^{-y}=x\,e^{-\ln(U)}=x\,\frac{1}{U}=\frac{x}{\dfrac{x^{2}}{2}+C},
portanto as duas expressões coincidem e a solução está correta.

Passo 7

Comentário sobre domínio e constantes: a constante C é arbitrária; a solução explícita exige \dfrac{x^{2}}{2}+C>0. Não existe solução constante não-trivial (uma função constante y não satisfaz a equação para todo x, exceto em casos degenerados em pontos isolados).

Resposta

y(x)=\ln\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C\right)

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