Para as séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. (2,5) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{\sqrt{n} 2^{n}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em -2:
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge, indicando se os endpoints estão incluídos ou não).
Informações relevantes dadas no enunciado:
O centro da série é -2 (porque aparece (x+2)^n).
Os coeficientes são a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\,2^n}.
Passo 2
Definição e estratégia para o raio de convergência: o raio R pode ser encontrado usando o teste da razão ou o teste da raiz aplicado aos coeficientes. Vou aplicar o teste da razão (é direto aqui). Para uma série de potências \sum a_n (x+2)^n, o raio satisfaz
Esta é uma série alternada com termos de módulo b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Vou aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é positvo, monótono decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificações:
b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0 para todo n.
b_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}=b_n, então b_n é decrescente.
Logo, pela regra de Leibniz a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} converge. No entanto, em termos de convergência absoluta, os termos absolutos formam a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}, que é uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo diverge. Portanto em x=0 a convergência é condicional (converge mas não absolutamente).
Passo 5
Teste do endpoint x=-4 (esquerdo): substituir x=-4 na série.
Quando x=-4 temos x+2=-2, então (x+2)^n=(-2)^n=(-1)^n 2^n. Substituindo,
Esta é novamente uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, que diverge. Assim a série diverge em x=-4. Note que aqui os termos são positivos, então não há cancelamento alternado; a divergência é clara pelo teste da série p.
Passo 6
Resumo e interpretação final:
A série converge absolutamente para |x+2|<2, isto é para x\in(-4,0).
Em x=0 a série converge condicionalmente (por Leibniz).