Para as séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(2,5) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{\sqrt{n} 2^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em -2:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}}.
O que é pedido:
  • Determinar o raio de convergência da série.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge, indicando se os endpoints estão incluídos ou não).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O centro da série é -2 (porque aparece (x+2)^n).
  • Os coeficientes são a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\,2^n}.

Passo 2

Definição e estratégia para o raio de convergência: o raio R pode ser encontrado usando o teste da razão ou o teste da raiz aplicado aos coeficientes. Vou aplicar o teste da razão (é direto aqui). Para uma série de potências \sum a_n (x+2)^n, o raio satisfaz
\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
quando esse limite existe.
Calcule \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Temos
a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\,2^n}, \qquad a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}\,2^{n+1}}.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}.
Agora tome o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.

Passo 3

A partir do passo anterior, \dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{2}, logo
R=2.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x+2|<2 (intervalo aberto centralizado em -2):
-2-2 < x < -2+2 \quad\Longleftrightarrow\quad -4 < x < 0.
Agora falta testar os pontos extremos x=-4 e x=0 separadamente, porque no caso |x+2|=2 o teste da razão não conclui.

Passo 4

Teste do endpoint x=0 (direito): substituir x=0 na série.
Quando x=0 temos x+2=2, então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
Esta é uma série alternada com termos de módulo b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Vou aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é positvo, monótono decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificações:
  • b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0 para todo n.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}=b_n, então b_n é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.
Logo, pela regra de Leibniz a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} converge. No entanto, em termos de convergência absoluta, os termos absolutos formam a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}, que é uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo diverge. Portanto em x=0 a convergência é condicional (converge mas não absolutamente).

Passo 5

Teste do endpoint x=-4 (esquerdo): substituir x=-4 na série.
Quando x=-4 temos x+2=-2, então (x+2)^n=(-2)^n=(-1)^n 2^n. Substituindo,
\frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}} = \frac{(-1)^{n} \cdot (-1)^{n} 2^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}} = \frac{(-1)^{2n} 2^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}.
Portanto a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}.
Esta é novamente uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, que diverge. Assim a série diverge em x=-4. Note que aqui os termos são positivos, então não há cancelamento alternado; a divergência é clara pelo teste da série p.

Passo 6

Resumo e interpretação final:
  • A série converge absolutamente para |x+2|<2, isto é para x\in(-4,0).
  • Em x=0 a série converge condicionalmente (por Leibniz).
  • Em x=-4 a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: 2
Intervalo de convergência: (-4,0]

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