y(0)
&
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
com condições iniciais
e
. Aqui
é o pulso unitário de amplitude 1 em
, ou seja
e
é o impulso em
. Vamos usar transformada de Laplace para resolver.
Passo 2
Primeiro dividimos a equação por 2 para ficar na forma padrão
Em seguida tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usamos
,
,
e
.
Passo 3
Aplicando Laplace ao lado esquerdo e ao direito:
Substituindo
e
obtemos
Logo
Passo 4
Isolando
:
Para inverter, separamos os termos:
-
, -
, -
é a transformada de ,
mas nós temos fator dee deslocamentos em e ; -
.
Passo 5
Fazendo a inversão termo a termo e aplicando o teorema do deslocamento:
Aqui o “
” indica convolução com o pulso unitário; explicitando: