Utilize as frações parciais para calcular: \int \frac{-2 x^{3}+5 x-1}{x^{2}-x-6} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{-2 x^{3} + 5 x - 1}{x^{2} - x - 6}\,dx
usando frações parciais. Vamos precisar de duas etapas principais: (i) divisão de polinômios para reduzir o grau do numerador e (ii) decompor a parte restante em frações parciais.

Passo 2

Primeiro faça a divisão do polinômio -2x^{3} + 0x^{2} + 5x -1 pelo polinômio x^{2}-x-6.
  • O quociente inicial é -2x, pois -2x^{3}/x^{2}=-2x.
  • Multiplicando: -2x\,(x^{2}-x-6)=-2x^{3}+2x^{2}+12x.
  • Subtraindo do numerador obtemos o resto -2x^{2}-7x-1.
  • Dividindo agora -2x^{2} por x^{2} -2.
  • Multiplicando: -2\,(x^{2}-x-6)=-2x^{2}+2x+12.
  • Subtraindo surge o resto final -9x-13.
Logo
\frac{-2 x^{3}+5 x-1}{x^{2}-x-6} =-2x-2 \;+\;\frac{-9x-13}{x^{2}-x-6}.

Passo 3

Agora decomponha
\frac{-9x-13}{x^{2}-x-6} \quad\text{com}\quad x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{-9x-13}{(x-3)(x+2)} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.
Isso equivale a
-9x-13 = A(x+2)+B(x-3).

Passo 4

Expanda e compare coeficientes:
A(x+2)+B(x-3) = (A+B)\,x + (2A-3B).
Logo o sistema é
\begin{cases} A + B = -9,\\\\ 2A - 3B = -13. \end{cases}
Resolva: da primeira equação A=-9-B. Substituindo na segunda:
2(-9 - B)-3B=-13 \;\Longrightarrow\; -18 -2B -3B=-13 \;\Longrightarrow\; -5B=5 \;\Longrightarrow\; B=-1,
e então A=-9-(-1)=-8.
Portanto
\frac{-9x-13}{x^{2}-x-6} =-\frac{8}{x-3} -\frac{1}{x+2}.

Passo 5

Reescrevendo a integral com os resultados:
\int \frac{-2 x^{3}+5 x-1}{x^{2}-x-6}\,dx =\int(-2x-2)\,dx \;+\;\int\Bigl(-\frac{8}{x-3}-\frac{1}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integre termo a termo:
\int(-2x-2)\,dx = -x^{2}-2x + C_1,
\int -\frac{8}{x-3}\,dx = -8\ln\bigl|x-3\bigr| + C_2,
\int -\frac{1}{x+2}\,dx = -\ln\bigl|x+2\bigr| + C_3.

Resposta

\boxed{ \int \frac{-2 x^{3}+5 x-1}{x^{2}-x-6}\,dx =-x^{2}-2x \;-\;8\ln\bigl|x-3\bigr|\;-\;\ln\bigl|x+2\bigr|\;+\;C. }

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