Use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x^{3}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{3}-1}
usando a Regra de L’Hôpital, que serve para limites na forma indeterminada \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=1: \ln1=0 e 1^{3}-1=0, logo temos 0/0, o que justifica o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
  • Derivada de \ln x é \tfrac{1}{x}.
  • Derivada de x^{3}-1 é 3x^{2}.
    Assim o limite vira
\lim_{x\to1}\frac{\tfrac{1}{x}}{3x^{2}} =\lim_{x\to1}\frac{1}{3x^{3}}.

Passo 4

Agora é só avaliar em x=1:
\frac{1}{3\cdot1^{3}}=\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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