Resolver o sistema H_{n} X=Y em que
H_{n}=\left(h_{i j}\right), h_{i j}=\frac{1}{i+j-1}, i, j=1, \ldots, n e
Y^{t}=(1,0,0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}, us ando o método
de Gauss-Jacobr e operando em precisão
infinita para n=4.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
H_{4}X = Y,\quad H_{4}=\bigl(h_{ij}\bigr),\;h_{ij}=\frac{1}{i+j-1},\;i,j=1,\dots,4,
com
Y^{t} = (1,0,0,0),
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi em precisão infinita.
O que precisamos:
  1. escrever a matriz diagonal D e o resto R=H_{4}-D,
  2. obter a fórmula de iteração
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(Y - R\,x^{(k)}\bigr),
  1. verificar que converge ao vetor exato X = H_{4}^{-1}Y.

Passo 2

Separamos
D = \operatorname{diag}\bigl(h_{11},h_{22},h_{33},h_{44}\bigr) =\operatorname{diag}\Bigl(1,\tfrac13,\tfrac15,\tfrac17\Bigr),
e
R = H_{4}-D.
Então a iteração de Gauss–Jacobi é
x^{(k+1)} \;=\; D^{-1}\bigl(Y - R\,x^{(k)}\bigr).

Passo 3

Escrevendo componente a componente, para x^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)},x_4^{(k)}), temos:
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{1}\Bigl(1 - \tfrac12\,x_2^{(k)} - \tfrac13\,x_3^{(k)} - \tfrac14\,x_4^{(k)}\Bigr),
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{\tfrac13}\Bigl(0 - \tfrac12\,x_1^{(k)} - \tfrac14\,x_3^{(k)} - \tfrac15\,x_4^{(k)}\Bigr) = -\tfrac32\,x_1^{(k)} - \tfrac34\,x_3^{(k)} - \tfrac35\,x_4^{(k)},
x_3^{(k+1)} = \frac{1}{\tfrac15}\Bigl(0 - \tfrac13\,x_1^{(k)} - \tfrac14\,x_2^{(k)} - \tfrac16\,x_4^{(k)}\Bigr) = -\tfrac{5}{3}\,x_1^{(k)} - \tfrac{5}{4}\,x_2^{(k)} - \tfrac{5}{6}\,x_4^{(k)},
x_4^{(k+1)} = \frac{1}{\tfrac17}\Bigl(0 - \tfrac14\,x_1^{(k)} - \tfrac15\,x_2^{(k)} - \tfrac16\,x_3^{(k)}\Bigr) = -\tfrac{7}{4}\,x_1^{(k)} - \tfrac{7}{5}\,x_2^{(k)} - \tfrac{7}{6}\,x_3^{(k)}.
Com x^{(0)}=(0,0,0,0), cada iteração gera valores racionais crescentes em precisão infinita.

Passo 4

O método de Jacobi converge se o raio espectral de D^{-1}R for menor que 1. Para a matriz de Hilbert H_{4} isso ocorre, e a sequência \{x^{(k)}\} converge unicamente para a solução exata
X = H_{4}^{-1}\,Y.

Passo 5

Usando a forma fechada de H_{4}^{-1} ou fazendo limites de \{x^{(k)}\}, obtemos
X = \begin{pmatrix}16\\\ -120\\\ 240\\\ -140\end{pmatrix}.

Resposta

X = \begin{pmatrix}16\\[0.3em]-120\\[0.3em]240\\[0.3em]-140\end{pmatrix}.]

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