(3 pontos) Considere ( \mathbb{R}^{4},+, \cdot ) um espaço vetorial real munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle usual e W= [(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)] um subespaço de \mathbb{R}_{4}.
(a) O que é uma base ortonormal? A base B=\{(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)\} é uma base ortonormal? Justifique .
(b) Encontre uma base ortonormal para W usando o processo de Gram-Scmidt.

Passo 1

O enunciado pede, em (a), a definição de base ortonormal num espaço com produto interno e verificar se
B=\{(1,0,0,-1),\,(0,1,0,-1),\,(0,0,1,-1)\}
é ortonormal em \mathbb{R}^4. Em (b) precisamos aplicar o processo de Gram–Schmidt em
\;v_1=(1,0,0,-1),\;v_2=(0,1,0,-1),\;v_3=(0,0,1,-1)
para obter uma base ortonormal de W=\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3\}.

Passo 2

Uma base ortonormal é um conjunto de vetores mutuamente ortogonais e cada um de norma 1. Ou seja, uma base \{e_i\} é ortonormal se para i\neq j
\langle e_i,e_j\rangle=0
e para todo i
\|e_i\|=1.

Passo 3

Para B calculamos, por exemplo,
\langle(1,0,0,-1),(0,1,0,-1)\rangle =1\neq0,
e \|(1,0,0,-1)\|=\sqrt{1+0+0+1}=\sqrt2\neq1. Logo os vetores não são nem ortogonais nem de norma 1. Portanto B não é base ortonormal.

Passo 4

Aplicando Gram–Schmidt, tomamos
u_1=v_1=(1,0,0,-1),
\|u_1\|=\sqrt2,\quad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac1{\sqrt2}(1,0,0,-1).

Passo 5

Definimos
\mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 =\frac{1}{2}(1,0,0,-1),
u_2=v_2-\mathrm{proj}_{u_1}(v_2) =\Bigl(-\tfrac12,1,0,-\tfrac12\Bigr),
\|u_2\|=\sqrt{\tfrac14+1+\tfrac14}=\sqrt{\tfrac32},\quad e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\bigl(-\tfrac1{\sqrt6},\;\sqrt{\tfrac23},\;0,\;- \tfrac1{\sqrt6}\bigr).

Passo 6

Calculamos
\mathrm{proj}_{u_1}(v_3)=\frac1{2}(1,0,0,-1),\quad \mathrm{proj}_{u_2}(v_3) =\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2 =\tfrac13\bigl(-\tfrac12,1,0,-\tfrac12\bigr),
u_3 =v_3-\mathrm{proj}_{u_1}(v_3)-\mathrm{proj}_{u_2}(v_3) =\Bigl(-\tfrac13,-\tfrac13,1,-\tfrac13\Bigr),
\|u_3\|=\sqrt{\tfrac13+\tfrac13+1+\tfrac13}=\tfrac{2}{\sqrt3},\quad e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\frac1{2\sqrt3}(-1,-1,3,-1).

Resposta

Uma base ortonormal de W é
\Bigl\{ \tfrac1{\sqrt2}(1,0,0,-1),\; (-\tfrac1{\sqrt6},\sqrt{\tfrac23},0,-\tfrac1{\sqrt6}),\; \tfrac1{2\sqrt3}(-1,-1,3,-1) \Bigr\}.

Exercícios relacionados