(3 pontos) Considere (
) um espaço vetorial real munido do produto interno
usual e
um subespaço de
.
(a) O que é uma base ortonormal? A base
é uma base ortonormal? Justifique .
(b) Encontre uma base ortonormal para
usando o processo de Gram-Scmidt.
(a) O que é uma base ortonormal? A base
(b) Encontre uma base ortonormal para
Passo 1
O enunciado pede, em (a), a definição de base ortonormal num espaço com produto interno e verificar se
é ortonormal em
. Em (b) precisamos aplicar o processo de Gram–Schmidt em
para obter uma base ortonormal de .
para obter uma base ortonormal de
Passo 2
Uma base ortonormal é um conjunto de vetores mutuamente ortogonais e cada um de norma 1. Ou seja, uma base
é ortonormal se para
e para todo
Passo 3
Para
calculamos, por exemplo,
e
. Logo os vetores não são nem ortogonais nem de norma 1. Portanto
não é base ortonormal.
Passo 4
Aplicando Gram–Schmidt, tomamos
Passo 5
Definimos
Passo 6
Calculamos
Resposta
Uma base ortonormal de
é