(5,0 pontos) Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} k & 2 \\\\ 2 & k \end{array}\right]
a) Encontre os valores de k para os quais a inversa da matriz A exista.
b) Agora, considerando k=1, calcule a inversa da matriz A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}k & 2\\[3pt]2 & k\end{pmatrix}
e pede:
a) para quais valores de k a matriz é invertível (isto é, \det(A)\neq0);
b) para k=1, calcular explicitamente A^{-1}.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Para
A=\begin{pmatrix}a&b\\[3pt]c&d\end{pmatrix}
temos \det(A)=ad-bc. Aqui a=d=k e b=c=2, logo
\det(A)=k\cdot k - 2\cdot2 = k^2 -4.
A inversa existe se e somente se \det(A)\neq0, ou seja,
k^2-4\neq0\quad\Longrightarrow\quad k\neq2,\;k\neq -2.]

Passo 3

Agora, para k=1, a matriz fica
A=\begin{pmatrix}1&2\\[3pt]2&1\end{pmatrix},
e seu determinante é
\det(A)=1^2-4=-3\neq0.
A fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\[3pt]-c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=d=1 e b=c=2, portanto
A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}1&-2\\[3pt]-2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}&\tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{2}{3}&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) k\neq2 e k\neq-2.
(b) \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}&\tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{2}{3}&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

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