(5,0 pontos) Seja a matriz
M=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 5 \\\\ 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right]
a) Calcule o \operatorname{det} A. Mostre todos os seus cálculos:
b) Qual o determinante da matriz 2 M ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[6pt] 0 & -1 & 3 \\[6pt] 0 & 4 & -2 \end{pmatrix}
e pede:
a) calcular \det M, mostrando todos os cálculos;
b) determinar \det(2M) e justificar.
O conteúdo envolvido é o cálculo de determinantes em \mathbb{R}^{3\times3} e a propriedade de que, para uma matriz n\times n, vale
\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A).]

Passo 2

Para calcular \det M usamos a expansão pela primeira coluna (onde aparecem dois zeros, facilitando o cálculo). Lembrando que, para uma matriz 3\times3,
\det M = m_{11}\,C_{11} + m_{21}\,C_{21} + m_{31}\,C_{31},
onde C_{ij} é o cofator de m_{ij}. Aqui m_{11}=1, m_{21}=0, m_{31}=0, então só o primeiro termo contribui:
\det M = 1 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\[4pt] 4 & -2 \end{vmatrix}.
Agora calculamos o determinante 2\times2:
\begin{vmatrix} -1 & 3 \\[4pt] 4 & -2 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-2) \;-\; 3\cdot 4 = 2 - 12 = -10.
Logo
\det M = 1 \times (-10) = -10.]

Passo 3

Para encontrar \det(2M), usamos a propriedade de homogeneidade do determinante: se M é 3\times3, então
\det(2M) = 2^3 \det(M) = 8 \det(M).
Como \det(M) = -10, obtemos
\det(2M) = 8 \times (-10) = -80.

Resposta

a) \det M = -10.
b) \det(2M) = -80, pois para uma matriz 3\times3 vale \det(2M)=2^3\det(M).

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