(3,0 pontos) Considere a matriz:
A=(lll 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & p )
a) Determine p para que det A=1;
b) Determine, se possível, A^-1, substituindo p=2.
c) Faça a prova real do item b.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & p
e pede:
a) o valor de p tal que det A=1;
b) a inversa de A quando p=2;
c) a prova real desse inverso.

Passo 2

Vamos calcular det A em função de p usando a expansão de Laplace pela primeira linha:
det A =2cdotdet1&21&p -1cdotdet1&22&p +1cdotdet1&12&1
Agora cada menor:
det1&21&p=p-2, det1&22&p=p-4, det1&12&1=1-2=-1
Logo
det A =2(p-2)-(p-4)+(-1) =2p-4-p+4-1=p-1

Passo 3

Para ter det A=1 basta resolver
p-1=1Longrightarrow p=2

Passo 4

Com p=2 a matriz fica
A=2&1&11&1&22&1&2,
e det A=1. O inverso é dado por A^-1=adj(A)/det A=adj(A). Calculando os cofatores Cij=(-1)^i+jMij e transpondo, obtemos
A^-1 = 0 & -1 & 1 2 & 2 & -3 -1 & 0 & 1

Passo 5

Como prova real, basta multiplicar e verificar que sai a identidade:
2&1&11&1&22&1&2 0&-1&12&2&-3-1&0&1 =1&0&00&1&00&0&1

Resposta

a) p=2.
b) Para p=2,
A^-1 = 0 & -1 & 1 2 & 2 & -3 -1 & 0 & 1
c) A multiplicação A,A^-1 realmente produz a matriz identidade.

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