(2,0 pontos) Verifique se o vetor x=(1,0,0) pode ser escrito como combinação linear dos vetores: u=(1,0,0), v=(0,1,-1) e w=(0,-2,1), e se os 4 vetores, juntos, são LD ou LI.

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^3:
x=(1,0,0), u=(1,0,0), v=(0,1,-1) e w=(0,-2,1).
Queremos verificar se x pertence ao espaço gerado por u,v,w, ou seja, se existem escalares a,b,c tais que
au+bv+cw=x,
e depois decidir se o conjunto x,u,v,w é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).

Passo 2

Suponha
e imponha que isso seja igual a
Da segunda equação vem , logo . E .

Passo 3

Concluímos que
x = 1cdotu + 0cdotv + 0cdotw,
ou seja, x está no span u,v,w.
Além disso, note que já existe uma relação linear não trivial entre x e u, pois
x - u = 0
com coeficientes (1,-1,0,0)neq(0,0,0,0). Logo o conjunto x,u,v,w é linearmente dependente.

Resposta

Sim, x pertence a Spanu,v,w pois
x=1u+0v+0w.
O conjunto x,u,v,w é linearmente dependente.

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