(3,0 pontos) Seja um triângulo ABC tal que os pontos A=(-1,3,0), B=(5,9,0) e C=(2,6, raiz6) estejam no espaço. Determine:
a) Os ângulos internos do triângulo ABC ;
b) Um vetor ortogonal ao plano formado pelos três pontos;
c) Se o ponto D=(-1,0,0) é coplanar com o triângulo ABC .

Passo 1

Temos um triângulo ABC no espaço com
A=(-1,3,0), B=(5,9,0), C=(2,6,raiz6).
Precisamos de ângulos internos (usar produto escalar e lei dos cossenos), um vetor normal ao plano (usar produto vetorial) e verificar coplanaridade de D=(-1,0,0) (usar produto misto).

Passo 2

Calculamos os vetores dos lados e seus comprimentos:
AB = B-A = (6,6,0), AC = C-A = (3,3,raiz6), BC = C-B = (-3,-3,raiz6)
|AB| = raiz6^2+6^2+0^2 = 6raiz2, |AC| = raiz3^2+3^2+(raiz6)^2 = 2raiz6, |BC| = 2raiz6

Passo 3

Usamos produto escalar para os ângulos em A e B:
ABcdotAC = 6cdot3 + 6cdot3 + 0cdotraiz6 = 36,
cos(A) = ABcdotAC|AB||AC| = 366raiz2,cdot,2raiz6 = 3624raiz3 = raiz32 ;Longrightarrow; A = 30^circ
De modo idêntico para B obtemos B=30^circ. E então
C = 180^circ - (A+B) = 120^circ

Passo 4

O vetor normal ao plano ABC é
n = ABtimesAC = i&j&k 6&6&0 3&3&raiz6 = (6raiz6,,-6raiz6,,0)
Uma versão simplificada (dividindo por 6raiz6) é
n=(1,-1,0).

Passo 5

Para testar coplanaridade de D calculamos
AD = D-A = (0,-3,0)
e o produto escalar com n:
ADcdotn = (0,-3,0)cdot(6raiz6,-6raiz6,0) = 18raiz6neq 0
Como não é zero, D não está no mesmo plano de A,B,C.

Resposta

(a) ang<= A=30^circ, ang<= B=30^circ, ang<= C=120^circ.
(b) Um vetor ortogonal é n=(1,-1,0).
(c) O ponto D não é coplanar com A,B,C.

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