As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 2 & x \\\\ 1 & 4\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 2 & x\\\\ 1 & 4 \end{pmatrix}
de um sistema com 3 equações e 2 incógnitas (x_1,x_2) e pede que haja ou nenhuma solução ou exatamente uma, conforme o vetor lado-direito b.
Pelo Teorema do posto, se \operatorname{rank}(A)=2 (igual ao número de colunas), então:
– se b\in\mathrm{Im}(A), o sistema é consistente e tem solução única;
– se b\notin\mathrm{Im}(A), o sistema é inconsistente e não tem solução.
Logo, basta garantir \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 2

Para ter \operatorname{rank}(A)=2, as colunas de A devem ser linearmente independentes. Verificamos um menor 2\times2 que não dependa de x, por exemplo o formado pelas linhas 1 e 3:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4-1\cdot1 =8-1 =7\neq0.
Como esse menor é não-nulo, \operatorname{rank}(A)\ge2. Mas o posto não pode passar de 2 (número de colunas), logo \operatorname{rank}(A)=2 para qualquer valor de x.

Passo 3

Como para todo x\in\mathbb{R} temos \operatorname{rank}(A)=2, o sistema de equações associadas a A terá exatamente uma solução se b for combinação linear das colunas de A, ou nenhuma solução caso contrário.
Portanto, qualquer escolha de x satisfaz a condição “0 ou 1 solução a depender de b”. Para ser concreto, podemos atribuir x=0.

Resposta

x=0 (na verdade qualquer x\in\mathbb{R} funciona)

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